Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10 Глава 1. О теоремах Коши, Римана, Пуанкаре и Каратеодори
Такая общая интегральная формула играет существенную роль при изучении
ряда проблем теории аналитических функций.
Своеобразие комплексного анализа проявляется также в том, что во мно-
гих вопросах рассматривается расширенная комплексная плоскость C =
C ∪{∞}, отождествляемая со сферой Римана с помощью стереографической
проекции.
1.3 Конформные отображения, теоремы Рима-
на и Пуанкаре
В настоящем курсе нашей целью является изучение основ геометрической
теории функций комплексного переменного. Подготовительным материалом
к геометрической теории служат следующие понятия и факты из стандарт-
ного курса ТФКП :
1) свойства дробно-линейных отображений, осуществляемых функциями
вида
w =
az + b
cz + d
(ad − bc 6= 0),
а также конформные отображения, построенные с привлечением элементар-
ных функций e
z
, ln z, sin z, z
α
и функции Жуковского w = (z + 1/z)/2;
2) принцип аргумента, вытекающий из теоремы Коши о вычетах, и теоре-
ма о том, что образом открытого множества при отображении аналитической
функцией (не равной тождественно постоянной) является открытое множе-
ство. Кстати, из этого факта легко следует принцип максимума модуля для
аналитических функций;
3) понятия римановой поверхности и аналитического продолжения.
Если функция f(z) является аналитической в области Ω и f
0
(z
0
) 6= 0,
z
0
∈ Ω, то локальное поведение отображения f : Ω → C в точке z
0
∈ Ω
определяется первыми двумя слагаемыми ее ряда Тейлора, так как
f(z) = a
0
+ a
1
(z − z
0
) + O(|z − z
0
|
2
), a
1
= f
0
(z
0
) 6= 0,
т. е. в малом функция ведет себя как линейное отображение и, в частности,
углы с вершиной в точке z
0
∈ Ω отображаются в углы той же величины
с вершиной в точке f(z
0
) ∈ f(Ω). В этом случае говорят, что отображение
f : Ω → C является конформным в точке z
0
∈ Ω. Говорят, что отображе-
ние f : Ω → C является конформным и однолистным в области Ω, если оно
10          Глава 1. О теоремах Коши, Римана, Пуанкаре и Каратеодори

Такая общая интегральная формула играет существенную роль при изучении
ряда проблем теории аналитических функций.
   Своеобразие комплексного анализа проявляется также в том, что во мно-
гих вопросах рассматривается расширенная комплексная плоскость C =
C ∪ {∞}, отождествляемая со сферой Римана с помощью стереографической
проекции.



1.3    Конформные отображения, теоремы Рима-
       на и Пуанкаре
   В настоящем курсе нашей целью является изучение основ геометрической
теории функций комплексного переменного. Подготовительным материалом
к геометрической теории служат следующие понятия и факты из стандарт-
ного курса ТФКП :

   1) свойства дробно-линейных отображений, осуществляемых функциями
вида
                              az + b
                        w=                (ad − bc 6= 0),
                              cz + d
а также конформные отображения, построенные с привлечением элементар-
ных функций ez , ln z, sin z, z α и функции Жуковского w = (z + 1/z)/2;
   2) принцип аргумента, вытекающий из теоремы Коши о вычетах, и теоре-
ма о том, что образом открытого множества при отображении аналитической
функцией (не равной тождественно постоянной) является открытое множе-
ство. Кстати, из этого факта легко следует принцип максимума модуля для
аналитических функций;
   3) понятия римановой поверхности и аналитического продолжения.

   Если функция f (z) является аналитической в области Ω и f 0 (z0 ) =
                                                                     6 0,
z0 ∈ Ω, то локальное поведение отображения f : Ω → C в точке z0 ∈ Ω
определяется первыми двумя слагаемыми ее ряда Тейлора, так как

          f (z) = a0 + a1 (z − z0 ) + O(|z − z0 |2 ),   a1 = f 0 (z0 ) 6= 0,

т. е. в малом функция ведет себя как линейное отображение и, в частности,
углы с вершиной в точке z0 ∈ Ω отображаются в углы той же величины
с вершиной в точке f (z0 ) ∈ f (Ω). В этом случае говорят, что отображение
f : Ω → C является конформным в точке z0 ∈ Ω. Говорят, что отображе-
ние f : Ω → C является конформным и однолистным в области Ω, если оно

Страницы