Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

12 Глава 1. О теоремах Коши, Римана, Пуанкаре и Каратеодори
где 0 ≤ r(A) < R(A) ≤ ∞ . Величина
M(Ω) :=
1
2π
ln
R(A)
r(A)
,
называется модулем двусвязной области Ω. Если r(A) = 0 или R(A) = ∞, то
полагают, что M(Ω) = ∞. Две двусвязные области, имеющие не менее трех
граничных точек в C, являются конформно эквивалентными тогда и только
тогда, когда они имеют одинаковые модули. Для многосвязных областей с
числом граничных компонент m ∈ [3, ∞] характеристика m также является
конформным инвариантом и совпадение числа граничных компонент, как и
в случае двусвязных областей, не гарантирует конформной эквивалентности
двух областей.
Эффективное обобщение теоремы Римана связано с отказом от однолист-
ности, с так называемыми накрывающими отображениями, придуманными
А. Пуанкаре и описываемыми в следующей теореме.
Теорема 1.4. Пусть D – единичный круг |w| < 1, Ω – произвольная (неод-
носвязная) область на плоскости C, имеющая не менее трех граничных
точек в C, z
0
∈ Ω – фиксированная точка. Тогда существует единственное
конформное отображение F : D → Ω круга D на область Ω, обладающие
свойствами:
1) F (w) является аналитической функцией в круге D, F (D) = Ω, и име-
ют место нормировки F (0) = z
0
, F
0
(0) > 0;
2) F
0
(w) 6= 0 для любой точки w ∈ D, т. е. функция F (w) локально обра-
тима, в частности, в окрестности точки z
0
однозначно определен условием
f
0
(z
0
) = 0 основной элемент f
0
обратной функции f(z) = F
−1
(z);
3) обратная функция f(z) = F
−1
(z) аналитически продолжима в Ω по
любому пути, лежащему в Ω, и все значения, принимаемые ее всевозмож-
ными аналитическими продолжениями в Ω, лежат в круге D.
Замечание 1. Области, имеющие не менее трех граничных точек в C, ча-
сто называют областями гиперболического типа или гиперболическими об-
ластями.
Замечание 2. Теоремы Римана и Пуанкаре распространяются и на обла-
сти из расширенной плоскости комплексного переменного C.
12          Глава 1. О теоремах Коши, Римана, Пуанкаре и Каратеодори

где 0 ≤ r(A) < R(A) ≤ ∞ . Величина

                                        1    R(A)
                            M (Ω) :=      ln      ,
                                       2π    r(A)

называется модулем двусвязной области Ω. Если r(A) = 0 или R(A) = ∞, то
полагают, что M (Ω) = ∞. Две двусвязные области, имеющие не менее трех
граничных точек в C, являются конформно эквивалентными тогда и только
тогда, когда они имеют одинаковые модули. Для многосвязных областей с
числом граничных компонент m ∈ [3, ∞] характеристика m также является
конформным инвариантом и совпадение числа граничных компонент, как и
в случае двусвязных областей, не гарантирует конформной эквивалентности
двух областей.


   Эффективное обобщение теоремы Римана связано с отказом от однолист-
ности, с так называемыми накрывающими отображениями, придуманными
А. Пуанкаре и описываемыми в следующей теореме.


Теорема 1.4. Пусть D – единичный круг |w| < 1, Ω – произвольная (неод-
носвязная) область на плоскости C, имеющая не менее трех граничных
точек в C, z0 ∈ Ω – фиксированная точка. Тогда существует единственное
конформное отображение F : D → Ω круга D на область Ω, обладающие
свойствами:
    1) F (w) является аналитической функцией в круге D, F (D) = Ω, и име-
ют место нормировки F (0) = z0 , F 0 (0) > 0;
    2) F 0 (w) 6= 0 для любой точки w ∈ D, т. е. функция F (w) локально обра-
тима, в частности, в окрестности точки z0 однозначно определен условием
f0 (z0 ) = 0 основной элемент f0 обратной функции f (z) = F −1 (z);
    3) обратная функция f (z) = F −1 (z) аналитически продолжима в Ω по
любому пути, лежащему в Ω, и все значения, принимаемые ее всевозмож-
ными аналитическими продолжениями в Ω, лежат в круге D.


   Замечание 1. Области, имеющие не менее трех граничных точек в C, ча-
сто называют областями гиперболического типа или гиперболическими об-
ластями.
   Замечание 2. Теоремы Римана и Пуанкаре распространяются и на обла-
сти из расширенной плоскости комплексного переменного C.

Страницы