Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.3. Конформные отображения, теоремы Римана и Пуанкаре 11
конформно в каждой точке этой области и является инъективным отображе-
нием. Таким образом, в ТФКП для отображений открытых множеств слова
"однолистный" и "инъективный" являются синонимами.
Базовым результатом геометрической теории функций является следую-
щая теорема Римана о конформных отображениях.
Теорема 1.3. Пусть Ω ⊂ C – односвязная область с границей, содержащей
более одной точки в C, z
0
∈ Ω – фиксированная точка, D – единичный
круг |w| < 1. Тогда существует однолистное конформное отображение f :
Ω → D области Ω на круг D, такое, что f(z
0
) = 0, f
0
(z
0
) > 0 (т. е. f
0
(z
0
)
является вещественным положительным числом).
Иными словами, функция f(z) является аналитической в области Ω ⊂ C,
и отображение f : Ω → D является биекцией.
Рис. 1.3: К теореме Римана
Как простое следствие получаем, что любые две односвязные плоские об-
ласти Ω
1
и Ω
2
, отличные от всей плоскости, являются конформно эквивалент-
ными, т. е. существует однолистное конформное отображение f : Ω
1
→ Ω
2
,
переводящее заданную точку z
0
∈ Ω
1
и направление в ней в заданную точку
w
0
∈ Ω
2
и заданное направление в этой точке.
Существует ряд аналогов этой теоремы для многосвязных областей. В
частности, любую двусвязную область Ω можно однолистно и конформно
отобразить на кольцо вида
A = {z ∈ C : r(A) < |z| < R(A)},
1.3. Конформные отображения, теоремы Римана и Пуанкаре                        11

конформно в каждой точке этой области и является инъективным отображе-
нием. Таким образом, в ТФКП для отображений открытых множеств слова
"однолистный" и "инъективный" являются синонимами.

  Базовым результатом геометрической теории функций является следую-
щая теорема Римана о конформных отображениях.
Теорема 1.3. Пусть Ω ⊂ C – односвязная область с границей, содержащей
более одной точки в C, z0 ∈ Ω – фиксированная точка, D – единичный
круг |w| < 1. Тогда существует однолистное конформное отображение f :
Ω → D области Ω на круг D, такое, что f (z0 ) = 0, f 0 (z0 ) > 0 (т. е. f 0 (z0 )
является вещественным положительным числом).
   Иными словами, функция f (z) является аналитической в области Ω ⊂ C,
и отображение f : Ω → D является биекцией.




                         Рис. 1.3: К теореме Римана


   Как простое следствие получаем, что любые две односвязные плоские об-
ласти Ω1 и Ω2 , отличные от всей плоскости, являются конформно эквивалент-
ными, т. е. существует однолистное конформное отображение f : Ω1 → Ω2 ,
переводящее заданную точку z0 ∈ Ω1 и направление в ней в заданную точку
w0 ∈ Ω2 и заданное направление в этой точке.
   Существует ряд аналогов этой теоремы для многосвязных областей. В
частности, любую двусвязную область Ω можно однолистно и конформно
отобразить на кольцо вида

                       A = {z ∈ C : r(A) < |z| < R(A)},

Страницы