Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.2. Теоремы Коши 9
Рис. 1.2: К интегральной формуле Коши
и проинтегрируем ряд
∞
X
n=0
f(ζ)
(ζ − z
0
)
n+1
(z − z
0
)
n
=
f(ζ)
ζ − z
почленно вдоль окружности L
+
ρ
(z
0
). Применяя интегральную формулу Ко-
ши, получаем в круге {z : |z − z
0
| < ρ} представление функции f(z) в виде
суммы ряда
f(z) =
∞
X
n=0
a
n
(z − z
0
)
n
с коэффициентами, определяемыми по формулам Коши
a
n
=
1
2πi
Z
L
+
ρ
(z
0
)
f(ζ)
(ζ − z
0
)
n+1
dζ =
1
2πρ
n
Z
2π
0
f(z
0
+ ρe
iθ
)e
−niθ
dθ.
Одновременно с этим, мы имеем и прежнее, тейлоровское выражение для
коэффициентов, т. е.
a
n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
.
Более общая интегральная формула Коши получается из простейшей так:
круг D
ρ
(z
0
) заменяем на замкнутую область G ⊂ Ω, ограниченную конечным
числом простых, замкнутых, кусочно-гладких кривых, а окружность L
+
ρ
(z
0
)
– положительно ориентированной границей этой области ∂G
+
. Таким обра-
зом, получаем следующую интегральную формулу Коши:
f(z) =
1
2πi
Z
∂G
+
f(ζ)
ζ − z
dζ.
1.2. Теоремы Коши                                                             9




                   Рис. 1.2: К интегральной формуле Коши


и проинтегрируем ряд
                        ∞
                        X        f (ζ)                  f (ζ)
                                       n+1
                                           (z − z0 )n =
                        n=0
                              (ζ − z0 )                 ζ −z
почленно вдоль окружности L+   ρ (z0 ). Применяя интегральную формулу Ко-
ши, получаем в круге {z : |z − z0 | < ρ} представление функции f (z) в виде
суммы ряда
                                    X∞
                           f (z) =      an (z − z0 )n
                                       n=0
с коэффициентами, определяемыми по формулам Коши
              Z                                Z 2π
            1               f (ζ)           1
      an =                            dζ =          f (z0 + ρeiθ )e−niθ dθ.
           2πi L+ρ (z0 ) (ζ − z0 )n+1      2πρn 0
Одновременно с этим, мы имеем и прежнее, тейлоровское выражение для
коэффициентов, т. е.
                                       f (n) (z0 )
                                  an =             .
                                           n!
   Более общая интегральная формула Коши получается из простейшей так:
круг Dρ (z0 ) заменяем на замкнутую область G ⊂ Ω, ограниченную конечным
числом простых, замкнутых, кусочно-гладких кривых, а окружность L+  ρ (z0 )
                                                           +
– положительно ориентированной границей этой области ∂G . Таким обра-
зом, получаем следующую интегральную формулу Коши:
                                       Z
                                     1         f (ζ)
                           f (z) =                   dζ.
                                   2πi ∂G+ ζ − z

Страницы