Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.1. Об определении аналитических функций 7
Существенное отличие комплексного анализа от вещественного начинает-
ся с понятия аналитической (голоморфной) функции, область определения
которой предполагается открытым множеством. И теория аналитических
функций составляет основное содержание курса ТФКП.
Аналитические функции можно определить двумя равносильными спосо-
бами.
Первое определение связано со степенными рядами. Говорят, что
функция f(z) является аналитической в точке z
0
∈ Ω, если существует круг
D
ρ
(z
0
) = {z : |z − z
0
| < ρ} ⊂ Ω такой, что f(z) имеет в этом круге произ-
водные любого порядка и представима как сумма своего ряда Тейлора по
степеням z − z
0
, т. е.
f(z) =
∞
X
n=0
f
(n)
(z
0
)
n!
(z − z
0
)
n
, z ∈ D
ρ
(z
0
).
Функцию f(z) называют аналитической (голоморфной) в области Ω, если
она является аналитической в любой точке этой области.
Можно было бы начать обсуждение аналитической функции как суммы
степенного ряда в области его сходимости. Радиус сходимости степенного
ряда
∞
X
n=0
a
n
(z − z
0
)
n
определяется следующей формулой Коши-Адамара
R =
1
lim sup
n→∞
n
p
|a
n
|
.
Если R > 0, то степенной ряд сходится в круге D
R
(z
0
) = {z : |z −z
0
| < R}, и
легко доказать, что сумма ряда s(z) является аналитической в круге D
R
(z
0
),
причем
a
n
=
s
(n)
(z
0
)
n!
.
Второе определение гораздо проще: говорят, что функция f(z) являет-
ся голоморфной (аналитической) в точке z
0
∈ Ω, если в этой точке существует
производная f
0
(z
0
). Функцию f(z) называют голоморфной (аналитической)
в области Ω, если она является голоморфной (аналитической) в любой точке
этой области. В последнее время "голоморфность в точке" стали заменять
более удачным термином "C-дифференцируемость в точке" , что не меняет
сути дела.
Понятно, что из первого определения легко следует второе, а обратная
импликация оказывается нетривиальным, сложно доказываемым фактом.
1.1. Об определении аналитических функций                                         7

    Существенное отличие комплексного анализа от вещественного начинает-
ся с понятия аналитической (голоморфной) функции, область определения
которой предполагается открытым множеством. И теория аналитических
функций составляет основное содержание курса ТФКП.
    Аналитические функции можно определить двумя равносильными спосо-
бами.
    Первое определение связано со степенными рядами. Говорят, что
функция f (z) является аналитической в точке z0 ∈ Ω, если существует круг
Dρ (z0 ) = {z : |z − z0 | < ρ} ⊂ Ω такой, что f (z) имеет в этом круге произ-
водные любого порядка и представима как сумма своего ряда Тейлора по
степеням z − z0 , т. е.
                           ∞
                           X f (n) (z0 )
                 f (z) =                   (z − z0 )n ,           z ∈ Dρ (z0 ).
                           n=0
                                  n!

Функцию f (z) называют аналитической (голоморфной) в области Ω, если
она является аналитической в любой точке этой области.
   Можно было бы начать обсуждение аналитической функции как суммы
степенного ряда в области его сходимости. Радиус сходимости степенного
ряда
                             X∞
                                an (z − z0 )n
                                   n=0
определяется следующей формулой Коши-Адамара
                                                 1
                              R=                     p            .
                                    lim supn→∞       n
                                                          |an |
Если R > 0, то степенной ряд сходится в круге DR (z0 ) = {z : |z − z0 | < R}, и
легко доказать, что сумма ряда s(z) является аналитической в круге DR (z0 ),
причем
                                      s(n) (z0 )
                                 an =            .
                                         n!
    Второе определение гораздо проще: говорят, что функция f (z) являет-
ся голоморфной (аналитической) в точке z0 ∈ Ω, если в этой точке существует
производная f 0 (z0 ). Функцию f (z) называют голоморфной (аналитической)
в области Ω, если она является голоморфной (аналитической) в любой точке
этой области. В последнее время "голоморфность в точке" стали заменять
более удачным термином "C-дифференцируемость в точке" , что не меняет
сути дела.
    Понятно, что из первого определения легко следует второе, а обратная
импликация оказывается нетривиальным, сложно доказываемым фактом.

Страницы