Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

8 Глава 1. О теоремах Коши, Римана, Пуанкаре и Каратеодори
Поэтому второе определение, принятое в большинстве учебников, ото-
двигает доказательство характеристического свойства аналитических
функций – разложимости в ряд Тейлора – вглубь курса ТФКП. Такой
подход к изложению комплексного анализа методически оправдан тем, что
при доказательстве представимости рядом Тейлора C-дифференцируемых
функций развивается базовая техника теории аналитических функций, ос-
нованная на теоремах Коши.
Тем не менее, желательным кратким вариантом ответа на вопрос "Ка-
кие функции называются голоморфными или аналитическими ?" является
первое определение, т. е. представимость функции в виде суммы степенного
ряда в любом круге, лежащем в области определения.
1.2 Теоремы Коши
Чтобы получить справедливость первого определения при выполнении
второго, сначала доказывается следующая ключевая теорема Коши.
Теорема 1.1. Если f(z) является голоморфной в области Ω в смысле вто-
рого определения, то
Z
L
f(z)dz = 0
для любого замкнутого контура L, лежащего в Ω и стягиваемого в точку
непрерывными деформациями, не выводящими за пределы области Ω.
Из теоремы Коши легко выводится интегральная формула Коши,
простейшая ее формулировка такова.
Теорема 1.2. Пусть f(z) является голоморфной в области Ω в смысле вто-
рого определения, и пусть D
ρ
(z
0
) = {z : | z −z
0
| ≤ ρ} ⊂ Ω и L
+
ρ
(z
0
) – окруж-
ность {z : |z−z
0
| = ρ}, обходимая против часовой стрелки. Тогда для любой
точки z ∈ D
ρ
(z
0
) справедлива формула
f(z) =
1
2πi
Z
L
+
ρ
(z
0
)
f(ζ)
ζ − z
dζ.
На основании интегральной формулы Коши легко получить справедли-
вость первого определения аналитичности. Действительно, разложим в ряд
функцию 1/(ζ − z) по формуле бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем q = (z − z
0
)/(ζ − z
0
), |q| < 1,
1
ζ − z
=
1
ζ − z
0
1
1 − q
=
1
ζ − z
0
∞
X
n=0
q
n
=
∞
X
n=0
(z − z
0
)
n
(ζ − z
0
)
n+1
8           Глава 1. О теоремах Коши, Римана, Пуанкаре и Каратеодори

   Поэтому второе определение, принятое в большинстве учебников, ото-
двигает доказательство характеристического свойства аналитических
функций – разложимости в ряд Тейлора – вглубь курса ТФКП. Такой
подход к изложению комплексного анализа методически оправдан тем, что
при доказательстве представимости рядом Тейлора C-дифференцируемых
функций развивается базовая техника теории аналитических функций, ос-
нованная на теоремах Коши.
   Тем не менее, желательным кратким вариантом ответа на вопрос "Ка-
кие функции называются голоморфными или аналитическими ?" является
первое определение, т. е. представимость функции в виде суммы степенного
ряда в любом круге, лежащем в области определения.


1.2     Теоремы Коши
   Чтобы получить справедливость первого определения при выполнении
второго, сначала доказывается следующая ключевая теорема Коши.
Теорема 1.1. Если f (z) является голоморфной в области Ω в смысле вто-
рого определения, то         Z
                                f (z)dz = 0
                                 L
для любого замкнутого контура L, лежащего в Ω и стягиваемого в точку
непрерывными деформациями, не выводящими за пределы области Ω.
   Из теоремы Коши легко выводится интегральная формула Коши,
простейшая ее формулировка такова.
Теорема 1.2. Пусть f (z) является голоморфной в области Ω в смысле вто-
рого определения, и пусть Dρ (z0 ) = {z : |z − z0 | ≤ ρ} ⊂ Ω и L+
                                                                ρ (z0 ) – окруж-
ность {z : |z −z0 | = ρ}, обходимая против часовой стрелки. Тогда для любой
точки z ∈ Dρ (z0 ) справедлива формула
                                      Z
                                    1            f (ζ)
                           f (z) =                     dζ.
                                   2πi L+ρ (z0 ) ζ − z
   На основании интегральной формулы Коши легко получить справедли-
вость первого определения аналитичности. Действительно, разложим в ряд
функцию 1/(ζ − z) по формуле бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем q = (z − z0 )/(ζ − z0 ), |q| < 1,
                                         X∞      X∞
              1      1      1       1         n       (z − z0 )n
                 =              =            q =
            ζ −z   ζ − z0 1 − q   ζ − z0 n=0     n=0
                                                     (ζ − z0 )n+1

Страницы