Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6 Глава 1. О теоремах Коши, Римана, Пуанкаре и Каратеодори
комплексного переменного z = x + iy принято обозначать через C. Этим
обозначением подчеркивается то обстоятельство, что комплексные числа об-
разуют числовое поле, т. е. для них, следовательно, для точек на плоско-
сти C, определены 4 арифметических действия над числами с привычными
свойствами (коммутативность операций сложения и умножения, дистрибу-
тивность умножения относительно сложения и вычитания и др.).
Топологии (определения окрестностей точек и пределов) на плоскости
комплексного переменного и двумерного евклидова пространства одинако-
вы. Поэтому теория функций двух вещественных переменных, в частности,
понятия частных производных по переменным x, y, определения криволи-
нейных и двойных интегралов для функций двух вещественных переменных
являются составной частью комплексного анализа.
Влияние комплексного анализа в этой части минимально, но существует.
Так, например, становится понятно, почему в теории функций одного ве-
щественного переменного полудлину интервала сходимости степенного ряда
называют радиусом. Кроме того, иногда формулы вещественного анализа
приобретают иной, более изящный вид за счет использования комплексных
переменных. Часто при этом оказываются полезными формальные произ-
водные по переменным z = x + iy и z = x − iy, определяемые формулами
Виртингера
∂f
∂z
=
1
2
µ
∂f
∂x
− i
∂f
∂y
,
∂f
∂z
=
1
2
µ
∂f
∂x
+ i
∂f
∂y
.
Пусть Ω – область (= открытое связное множество) в C. Рассмотрим
отображения f : Ω → C, иными словами, комплекснозначные функции
w = f(z), заданные в области Ω. По определению, производная функции
f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) в фиксированной точке z
0
∈ Ω, задается
формулой
f
0
(z
0
) = lim
z→z
0
f(z) − f(z
0
)
z − z
0
,
если указанный предел существует. Таким образом, определение производной
функции по форме совпадает с аналогичным определением производной для
функции вещественного переменного. Отметим, что условия Коши-Римана
∂u
∂x
=
∂v
∂y
,
∂u
∂y
= −
∂v
∂x
в точке z
0
= x
0
+ iy
0
, вытекающие из существования комплексной производ-
ной f
0
(z
0
), равносильны соотношению (проверьте!)
∂f (z
0
)
∂z
= 0.
6           Глава 1. О теоремах Коши, Римана, Пуанкаре и Каратеодори

комплексного переменного z = x + iy принято обозначать через C. Этим
обозначением подчеркивается то обстоятельство, что комплексные числа об-
разуют числовое поле, т. е. для них, следовательно, для точек на плоско-
сти C, определены 4 арифметических действия над числами с привычными
свойствами (коммутативность операций сложения и умножения, дистрибу-
тивность умножения относительно сложения и вычитания и др.).
   Топологии (определения окрестностей точек и пределов) на плоскости
комплексного переменного и двумерного евклидова пространства одинако-
вы. Поэтому теория функций двух вещественных переменных, в частности,
понятия частных производных по переменным x, y, определения криволи-
нейных и двойных интегралов для функций двух вещественных переменных
являются составной частью комплексного анализа.
   Влияние комплексного анализа в этой части минимально, но существует.
Так, например, становится понятно, почему в теории функций одного ве-
щественного переменного полудлину интервала сходимости степенного ряда
называют радиусом. Кроме того, иногда формулы вещественного анализа
приобретают иной, более изящный вид за счет использования комплексных
переменных. Часто при этом оказываются полезными формальные произ-
водные по переменным z = x + iy и z = x − iy, определяемые формулами
Виртингера
                    µ          ¶               µ          ¶
             ∂f   1 ∂f      ∂f          ∂f   1 ∂f      ∂f
                =        −i      ,         =        +i      .
             ∂z   2 ∂x      ∂y          ∂z   2 ∂x      ∂y

    Пусть Ω – область (= открытое связное множество) в C. Рассмотрим
отображения f : Ω → C, иными словами, комплекснозначные функции
w = f (z), заданные в области Ω. По определению, производная функции
f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) в фиксированной точке z0 ∈ Ω, задается
формулой
                                             f (z) − f (z0 )
                            f 0 (z0 ) = lim                  ,
                                        z→z0     z − z0
если указанный предел существует. Таким образом, определение производной
функции по форме совпадает с аналогичным определением производной для
функции вещественного переменного. Отметим, что условия Коши-Римана
                         ∂u   ∂v          ∂u    ∂v
                            =    ,           =−
                         ∂x   ∂y          ∂y    ∂x
в точке z0 = x0 + iy0 , вытекающие из существования комплексной производ-
ной f 0 (z0 ), равносильны соотношению (проверьте!)
                                 ∂f (z0 )
                                          = 0.
                                   ∂z

Страницы