Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.4. Граничное соответствие и условия единственности 13
Рис. 1.4: К теореме Пуанкаре
1.4 Граничное соответствие и условия един-
ственности
К фундаментальным теоремам геометрической теории функций ком-
плексного переменного следует также отнести теорему Каратеодори о гра-
ничном соответствии при конформных отображениях. Для формулировки
этой теоремы во всей ее полноте нужна специальная компактификация об-
ластей (так называемая теория простых концов). Она построена К. Каратео-
дори для геометрического описания соответствия границ при конформных
отображениях областей. Здесь мы приведем лишь формулировку теоремы
о граничном соответствии в простейшем случае, излагаемом в стандартных
курсах по ТФКП.
Теорема 1.5. Однолистное конформное отображение f : Ω
1
→ Ω
2
двух
односвязных областей, ограниченных замкнутыми жордановыми кривыми,
однозначно и непрерывно продолжимо на границу области Ω
1
и порождает
гомеоморфное отображение замыканий областей, и, в частности, гомео-
морфизм f : ∂Ω
1
→ ∂Ω
2
границ областей.
1.4. Граничное соответствие и условия единственности                 13




                      Рис. 1.4: К теореме Пуанкаре



1.4    Граничное соответствие и условия един-
       ственности

   К фундаментальным теоремам геометрической теории функций ком-
плексного переменного следует также отнести теорему Каратеодори о гра-
ничном соответствии при конформных отображениях. Для формулировки
этой теоремы во всей ее полноте нужна специальная компактификация об-
ластей (так называемая теория простых концов). Она построена К. Каратео-
дори для геометрического описания соответствия границ при конформных
отображениях областей. Здесь мы приведем лишь формулировку теоремы
о граничном соответствии в простейшем случае, излагаемом в стандартных
курсах по ТФКП.

Теорема 1.5. Однолистное конформное отображение f : Ω1 → Ω2 двух
односвязных областей, ограниченных замкнутыми жордановыми кривыми,
однозначно и непрерывно продолжимо на границу области Ω1 и порождает
гомеоморфное отображение замыканий областей, и, в частности, гомео-
морфизм f : ∂Ω1 → ∂Ω2 границ областей.

Страницы