Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.5. Задачи и упражнения 15
Рис. 1.5: Различные нормировки
равен единице?
2) Пусть функция f(z) является аналитической в единичном круге и удо-
влетворяет условию: |f(z)| ≤ 1 для любого z ∈ D. Доказать, что коэффици-
енты ее ряда Тейлора
f(z) = a
0
+ a
1
z + a
2
z
2
+ ..., |z| < 1,
удовлетворяют для любого n неравенству
|a
n
| =
|f
(n)
(0)|
n!
≤ 1,
которое является точным, так как для любого натурального n и γ ∈ R суще-
ствует экстремальная функция f
n
(z) = e
iγ
z
n
, удовлетворяющая всем услови-
ям, для которой
|a
n
| =
|f
(n)
n
(0)|
n!
= |e
iγ
| = 1.
1.5. Задачи и упражнения                                                 15




                     Рис. 1.5: Различные нормировки


равен единице?

   2) Пусть функция f (z) является аналитической в единичном круге и удо-
влетворяет условию: |f (z)| ≤ 1 для любого z ∈ D. Доказать, что коэффици-
енты ее ряда Тейлора
                   f (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + ..., |z| < 1,
удовлетворяют для любого n неравенству
                                      |f (n) (0)|
                            |an | =               ≤ 1,
                                          n!
которое является точным, так как для любого натурального n и γ ∈ R суще-
ствует экстремальная функция fn (z) = eiγ z n , удовлетворяющая всем услови-
ям, для которой
                                 (n)
                               |fn (0)|
                       |an | =          = |eiγ | = 1.
                                  n!

Страницы