Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.5. Задачи и упражнения 17
Непосредственными вычислениями получаем
g
0
(z) =
(ad − bc)f
0
(z)
(cf(z) + d)
2
,
g
00
(z) = (ad − bc)
·
f
00
(z)
(cf(z) + d)
2
− 2c
(f
0
(z))
2
(cf(z) + d)
3
¸
,
g
000
(z) = (ad − bc)
·
f
000
(z)
(cf(z) + d)
2
− 6c
f
00
(z)f
0
(z)
(cf(z) + d)
3
+ 6c
2
(f
0
(z))
3
(cf(z) + d)
4
¸
.
Далее, определяем отношения производных:
g
000
(z)
g
0
(z)
=
f
000
(z)
f
0
(z)
− 6c
f
00
(z)
cf(z) + d
+ 6c
2
(f
0
(z))
2
(cf(z) + d)
2
,
g
00
(z)
g
0
(z)
=
f
00
(z)
f
0
(z)
− 2c
f
0
(z)
cf(z) + d
.
Но тогда
3
2
µ
g
00
(z)
g
0
(z)
2
=
3
2
µ
f
00
(z)
f
0
(z)
2
− 6c
f
00
(z)
cf(z) + d
+ 6c
2
(f
0
(z))
2
(cf(z) + d)
2
,
и легко получаем равенство шварцианов
{g, z} =
g
000
(z)
g
0
(z)
−
3
2
µ
g
00
(z)
g
0
(z)
2
=
f
000
(z)
f
0
(z)
−
3
2
µ
f
00
(z)
f
0
(z)
2
= {f, z}.
5.2) Упростите предыдущие вычисления, предварительно доказав следу-
ющую формулу для шварциана
{f, z} =
µ
f
00
(z)
f
0
(z)
0
−
1
2
µ
f
00
(z)
f
0
(z)
2
.
Подсказка. Для вычисления шварциана {g, z} можно воспользоваться фор-
мулой
{g, z} = (ln g
0
(z))
00
−
1
2
((ln g
0
(z))
0
)
2
.
5.3) Доказать, что шварциан {f, z} ≡ 0 тогда и только тогда, когда f
является дробно-линейной функцией, т.е. f(z) имеет вид
f(z) =
az + b
cz + d
, (ad − bc 6= 0).
1.5. Задачи и упражнения                                                                               17

Непосредственными вычислениями получаем

                                                             (ad − bc)f 0 (z)
                                             g 0 (z) =                        ,
                                                              (cf (z) + d)2
                                                  ·                             ¸
                      00                  f 00 (z)                 (f 0 (z))2
              g (z) = (ad − bc)                          − 2c                     ,
                                      (cf (z) + d)2             (cf (z) + d)3
                       ·                                                                   ¸
      000                   f 000 (z)              f 00 (z)f 0 (z)         2   (f 0 (z))3
     g (z) = (ad − bc)                     − 6c                      + 6c                    .
                         (cf (z) + d)2            (cf (z) + d)3              (cf (z) + d)4
Далее, определяем отношения производных:

                      g 000 (z)   f 000 (z)        f 00 (z)      2   (f 0 (z))2
                                =           − 6c            + 6c                 ,
                      g 0 (z)     f 0 (z)        cf (z) + d        (cf (z) + d)2

                                      g 00 (z)   f 00 (z)        f 0 (z)
                                               =          − 2c            .
                                      g 0 (z)    f 0 (z)       cf (z) + d
Но тогда
               µ              ¶2         µ              ¶2
           3       g 00 (z)          3       f 00 (z)                 f 00 (z)         (f 0 (z))2
                                   =                         − 6c              + 6c2               ,
           2       g 0 (z)           2       f 0 (z)                cf (z) + d       (cf (z) + d)2
и легко получаем равенство шварцианов
                            µ        ¶2              µ        ¶2
                g 000 (z) 3 g 00 (z)     f 000 (z) 3 f 00 (z)
        {g, z} = 0       −              = 0       −              = {f, z}.
                 g (z)     2 g 0 (z)     f (z)      2 f 0 (z)

  5.2) Упростите предыдущие вычисления, предварительно доказав следу-
ющую формулу для шварциана
                            µ 00 ¶0     µ         ¶2
                             f (z)     1 f 00 (z)
                   {f, z} =          −               .
                             f 0 (z)   2 f 0 (z)

Подсказка. Для вычисления шварциана {g, z} можно воспользоваться фор-
мулой
                                       00 1               2
                  {g, z} = (ln g 0 (z)) − ((ln g 0 (z))0 ) .
                                          2

   5.3) Доказать, что шварциан {f, z} ≡ 0 тогда и только тогда, когда f
является дробно-линейной функцией, т.е. f (z) имеет вид
                                              az + b
                                   f (z) =           ,                (ad − bc 6= 0).
                                              cz + d

Страницы