Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

18 Глава 1. О теоремах Коши, Римана, Пуанкаре и Каратеодори
Указание. Равенство нулю шварциана для дробно-линейной функции полу-
чается легко, так как
½
az + b
cz + d
, z
¾
= {z, z} ≡ 0.
Схема доказательства обратного утверждения такова: обозначим
p(z) =
f
00
(z)
f
0
(z)
.
Как мы убедились в упражнении 5.2)
{f, z} = p
0
(z) −
1
2
p
2
(z).
Поэтому решение нелинейного уравнения {f, z} = 0 третьего порядка сво-
дится к последовательному решению трех следующих дифференциальных
уравнений первого порядка:
p
0
p
2
=
1
2
, (ln f
0
)
0
=
1
−z/2 + C
1
, f
0
=
C
2
(z − 2C
1
)
2
,
где C
1
и C
2
– постоянные.
6) Пусть f – одно из однолистных конформных отображений единичного
круга на область Ω. Докажите, что любое другое однолистное конформное
отображение g : D → Ω может быть представлено формулой
g(ζ) = f
µ
e
iα
ζ − a
1 − aζ
, ζ ∈ D,
где a и α – постоянные, причем |a| < 1, а α – вещественная величина.
7) Пусть f – одно из накрывающих конформных отображений единич-
ного круга на гиперболическую область Ω. Докажите, что любое другое на-
крывающее конформное отображение g : D → Ω может быть представлено
формулой
g(ζ) = f
µ
e
iα
ζ − a
1 − aζ
, ζ ∈ D,
где a и α – постоянные, причем |a| < 1, а α – вещественная величина.
18           Глава 1. О теоремах Коши, Римана, Пуанкаре и Каратеодори

Указание. Равенство нулю шварциана для дробно-линейной функции полу-
чается легко, так как
                       ½           ¾
                         az + b
                                , z = {z, z} ≡ 0.
                         cz + d

     Схема доказательства обратного утверждения такова: обозначим

                                           f 00 (z)
                                  p(z) =            .
                                           f 0 (z)

Как мы убедились в упражнении 5.2)
                                                 1 2
                            {f, z} = p0 (z) −      p (z).
                                                 2
Поэтому решение нелинейного уравнения {f, z} = 0 третьего порядка сво-
дится к последовательному решению трех следующих дифференциальных
уравнений первого порядка:

              p0  1                       1                        C2
               2
                 = ,   (ln f 0 )0 =             ,       f0 =               ,
              p   2                   −z/2 + C1                (z − 2C1 )2

где C1 и C2 – постоянные.

   6) Пусть f – одно из однолистных конформных отображений единичного
круга на область Ω. Докажите, что любое другое однолистное конформное
отображение g : D → Ω может быть представлено формулой
                              µ           ¶
                                 iα ζ − a
                      g(ζ) = f e            , ζ ∈ D,
                                   1 − aζ

где a и α – постоянные, причем |a| < 1, а α – вещественная величина.

   7) Пусть f – одно из накрывающих конформных отображений единич-
ного круга на гиперболическую область Ω. Докажите, что любое другое на-
крывающее конформное отображение g : D → Ω может быть представлено
формулой                      µ           ¶
                                 iα ζ − a
                      g(ζ) = f e            , ζ ∈ D,
                                   1 − aζ
где a и α – постоянные, причем |a| < 1, а α – вещественная величина.

Страницы