Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 20 стр.

20       Глава 2. Метрика Пуанкаре и принцип гиперболической метрики

линии (вспомним, что так называют линии, соединяющие кратчайшим пу-
тем две точки на поверхности).
   Единообразную интерпретацию трех геометрий (Евклида, Лобачевского
и геометрии на сфере) представил в 1871 году Ф. Клейн. По предложению
Клейна геометрию Лобачевского называют гиперболической геометрией.




                       Рис. 2.1: Модель Пуанкаре


    В 1882 году А. Пуанкаре предложил новую модель плоскости Лобачев-
ского, тесно связанную с ТФКП и группами дробно-линейных отображений.
    Согласно модели Пуанкаре, плоскостью Лобачевского объявляется еди-
ничный круг D = {z : |z| < 1}. Роль точек играют точки, а роль прямых –
диаметры круга D и лежащие в круге D дуги окружностей вида |z − z0 | = ρ
(|z0 | > 1), ортогональных к единичной окружности |z| = 1. Пуанкаре дока-
зал, что эти дуги являются геодезическими линиями, если дифференциаль-
ный элемент длины дуги определять по формуле
                                       |dz|
                              dσ =            .
                                     1 − |z|2
А именно, среди всех линий γ(z1 , z2 ), лежащих в круге D и соединяющих