Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

22 Глава 2. Метрика Пуанкаре и принцип гиперболической метрики
Таким образом, приходим к требуемому соотношению
¯
¯
¯
¯
dz
dζ
¯
¯
¯
¯
=
1 − |z|
2
1 − |ζ|
2
,
этим и завершается доказательство.
Теорема 2.2. Гиперболическое расстояние ρ
D
(z
1
, z
2
) между точками
z
1
, z
2
∈ D определяется формулой
ρ
D
(z
1
, z
2
) =
1
2
ln
1 + t
1 − t
, t =
¯
¯
¯
¯
z
1
− z
2
1 − z
1
z
2
¯
¯
¯
¯
.
Действительно, преобразование
w = T(z) = e
iα
z −z
1
1 − z
1
z
и конформная инвариантность метрики дают равенство ρ
D
(z
1
, z
2
) = ρ
D
(0, t).
А величина ρ
D
(0, t) легко вычисляется:
ρ
D
(0, t) =
Z
t
0
d r
1 − r
2
=
1
2
ln
1 + t
1 − t
.
Метрику Пуанкаре можно определить в любой односвязной об-
ласти Ω ⊂ C, Ω 6= C. Для этого рассмотрим однолистное конформное отоб-
ражение F : D → Ω. Через w = F (z) обозначим соответствующую голоморф-
ную функцию со значениями в области Ω.
Область Ω превратим в плоскость Лобачевского, определив в ней коэф-
фициент метрики Пуанкаре λ
Ω
(w) равенством
λ
Ω
(w)|dw| = λ
D
(z)|dz| ∀z ∈ D, w = F (z) ∈ Ω.
Имеем
λ
Ω
(F (z)) |F
0
(z)| =
1
1 − |z|
2
∀z ∈ D,
тогда
λ
Ω
(w) =
|F
0
(F
−1
(w))|
−1
1 − |F
−1
(w)|
2
∀w ∈ Ω.
Теми же формулами определяется и метрика Пуанкаре (т. е. гиперболиче-
ская метрика) для многосвязной области Ω ⊂ C, граница которой содержит
22        Глава 2. Метрика Пуанкаре и принцип гиперболической метрики

Таким образом, приходим к требуемому соотношению
                            ¯ ¯
                            ¯ dz ¯ 1 − |z|2
                            ¯ ¯=
                            ¯ dζ ¯ 1 − |ζ|2 ,

этим и завершается доказательство.


Теорема 2.2. Гиперболическое расстояние ρD (z1 , z2 ) между точками
z1 , z2 ∈ D определяется формулой
                                             ¯            ¯
                                   1 1+t     ¯ z1 − z2 ¯
                    ρD (z1 , z2 ) = ln       ¯
                                         , t=¯            ¯.
                                   2 1−t       1 − z 1 z2 ¯

     Действительно, преобразование
                                                      z − z1
                            w = T (z) = eiα
                                                     1 − z1 z

и конформная инвариантность метрики дают равенство ρD (z1 , z2 ) = ρD (0, t).
А величина ρD (0, t) легко вычисляется:
                                    Z       t
                                                 dr    1 1+t
                      ρD (0, t) =                   2
                                                      = ln   .
                                        0       1−r    2 1−t


   Метрику Пуанкаре можно определить в любой односвязной об-
ласти Ω ⊂ C, Ω 6= C. Для этого рассмотрим однолистное конформное отоб-
ражение F : D → Ω. Через w = F (z) обозначим соответствующую голоморф-
ную функцию со значениями в области Ω.
   Область Ω превратим в плоскость Лобачевского, определив в ней коэф-
фициент метрики Пуанкаре λΩ (w) равенством

              λΩ (w)|dw| = λD (z)|dz|              ∀z ∈ D, w = F (z) ∈ Ω.

Имеем
                                                    1
                   λΩ (F (z)) |F 0 (z)| =                       ∀z ∈ D,
                                                 1 − |z|2
тогда
                               |F 0 (F −1 (w))|−1
                      λΩ (w) =                    ∀w ∈ Ω.
                                1 − |F −1 (w)|2
Теми же формулами определяется и метрика Пуанкаре (т. е. гиперболиче-
ская метрика) для многосвязной области Ω ⊂ C, граница которой содержит

Страницы