Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.3. Лемма Шварца и принцип гиперболической метрики 23
не менее трех точек в C. В этом случае F : D → Ω – накрывающее отображе-
ние из теоремы Пуанкаре о конформных отображениях. Теперь становится
понятен термин "область гиперболического типа" применительно к обла-
стям, имеющим не менее трех граничных точек в расширенной комплексной
плоскости.
Таким образом, в каждой области Ω ⊂ C, граница которой содержит не
менее трех точек в C, мы можем определять геометрические характеристики,
связанные либо с геометрией Евклида, либо с геометрией Лобачевского. Мно-
гие результаты в геометрической теории функций комплексного переменного
можно интерпретировать как теоремы сравнения евклидовых и гиперболи-
ческих характеристик одной и той же области.
2.3 Лемма Шварца и принцип гиперболиче-
ской метрики
Рассмотрим принцип гиперболической метрики, взяв для простоты лишь
случай односвязных областей. Пусть Ω
1
и Ω
2
– односвязные области на плос-
кости, не совпадающие со всей плоскостью C.
Через F : Ω
1
→ Ω
2
обозначим однолистное конформное отображение Ω
1
на Ω
2
. По определению метрики Пуанкаре имеем тождество
λ
Ω
1
(z)|dz| = λ
Ω
2
(w)|dw|, w = F (z), z ∈ Ω
1
.
Следовательно,
|F
0
(z)| ≡
λ
Ω
1
(z)
λ
Ω
2
(w)
.
Теорема 2.3. (Принцип гиперболической метрики.) Пусть w = f(z) – голо-
морфная функция, определенная в области Ω
1
и удовлетворяющая условию
f(Ω
1
) ⊂ Ω
2
. Тогда
|f
0
(z)| ≤
λ
Ω
1
(z)
λ
Ω
2
(f(z))
, z ∈ Ω
1
.
Равенство в этом неравенстве имеет место тогда и только тогда, когда
f – однолистное конформное отображение Ω
1
на Ω
2
.
Из этой теоремы следует, что при голоморфном отображении одной об-
ласти в другую неевклидовы длины и неевклидовы площади будут только
2.3. Лемма Шварца и принцип гиперболической метрики                   23

не менее трех точек в C. В этом случае F : D → Ω – накрывающее отображе-
ние из теоремы Пуанкаре о конформных отображениях. Теперь становится
понятен термин "область гиперболического типа" применительно к обла-
стям, имеющим не менее трех граничных точек в расширенной комплексной
плоскости.

   Таким образом, в каждой области Ω ⊂ C, граница которой содержит не
менее трех точек в C, мы можем определять геометрические характеристики,
связанные либо с геометрией Евклида, либо с геометрией Лобачевского. Мно-
гие результаты в геометрической теории функций комплексного переменного
можно интерпретировать как теоремы сравнения евклидовых и гиперболи-
ческих характеристик одной и той же области.



2.3    Лемма Шварца и принцип гиперболиче-
       ской метрики
   Рассмотрим принцип гиперболической метрики, взяв для простоты лишь
случай односвязных областей. Пусть Ω1 и Ω2 – односвязные области на плос-
кости, не совпадающие со всей плоскостью C.
   Через F : Ω1 → Ω2 обозначим однолистное конформное отображение Ω1
на Ω2 . По определению метрики Пуанкаре имеем тождество

                 λΩ1 (z)|dz| = λΩ2 (w)|dw|, w = F (z), z ∈ Ω1 .

Следовательно,
                                            λΩ1 (z)
                              |F 0 (z)| ≡           .
                                            λΩ2 (w)

Теорема 2.3. (Принцип гиперболической метрики.) Пусть w = f (z) – голо-
морфная функция, определенная в области Ω1 и удовлетворяющая условию
f (Ω1 ) ⊂ Ω2 . Тогда
                                   λΩ1 (z)
                      |f 0 (z)| ≤             , z ∈ Ω1 .
                                  λΩ2 (f (z))
Равенство в этом неравенстве имеет место тогда и только тогда, когда
f – однолистное конформное отображение Ω1 на Ω2 .

   Из этой теоремы следует, что при голоморфном отображении одной об-
ласти в другую неевклидовы длины и неевклидовы площади будут только

Страницы