Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.2. Конформная инвариантность метрики Пуанкаре 21
заданные точки z
1
, z
2
из круга D, инфимум в равенстве
l ( z
1
, z
2
) = inf
γ(z
1
,z
2
)
Z
γ
|dz|
1 − |z|
2
,
реализуется на кривой γ(z
1
, z
2
), которая является либо отрезком диаметра,
либо дугой окружности, ортогональной к окружности |z| = 1.
2.2 Конформная инвариантность метрики Пу-
анкаре
Теорема 2.1. Метрика Пуанкаре является конформно инвариантной.
Доказательство. Пусть T – конформное отображение круга |ζ| < 1 на
круг |z| < 1 . Конформная инвариантность метрики Пуанкаре означает, что
должно иметь место тождество
|dz|
1 − |z|
2
=
|dζ|
1 − |ζ|
2
для всех точек z, ζ единичного круга, связанных равенством z = T (ζ).
Из общего курса ТФКП известно, что любой конформный автоморфизм
T единичного круга определяется формулой
z = T (ζ) = e
iα
ζ − a
1 − aζ
α ∈ R, a ∈ C, |a| < 1.
Непосредственными вычислениями получаем
T
0
(ζ) = e
iα
1 − |a|
2
(1 − aζ)
2
,
1 − |T (ζ)|
2
=
|1 − aζ|
2
− |ζ − a|
2
|1 − aζ|
2
=
=
1 + |a|
2
|ζ|
2
− |ζ|
2
− |a|
2
|1 − aζ|
2
=
(1 − |a|
2
)(1 − |ζ|
2
)
|1 − aζ|
2
,
и, следовательно,
|T
0
(ζ)| =
1 − |T (ζ)|
2
1 − |ζ|
2
.
2.2. Конформная инвариантность метрики Пуанкаре                              21

заданные точки z1 , z2 из круга D, инфимум в равенстве
                                                 Z
                                                     |dz|
                         l(z1 , z2 ) = inf                  ,
                                      γ(z1 ,z2 )   1 − |z|2
                                                   γ


реализуется на кривой γ(z1 , z2 ), которая является либо отрезком диаметра,
либо дугой окружности, ортогональной к окружности |z| = 1.


2.2     Конформная инвариантность метрики Пу-
        анкаре
Теорема 2.1. Метрика Пуанкаре является конформно инвариантной.

   Доказательство. Пусть T – конформное отображение круга |ζ| < 1 на
круг |z| < 1. Конформная инвариантность метрики Пуанкаре означает, что
должно иметь место тождество

                                    |dz|        |dζ|
                                          2
                                            =
                                  1 − |z|     1 − |ζ|2

для всех точек z, ζ единичного круга, связанных равенством z = T (ζ).
   Из общего курса ТФКП известно, что любой конформный автоморфизм
T единичного круга определяется формулой

                                       ζ −a
                    z = T (ζ) = eiα              α ∈ R, a ∈ C, |a| < 1.
                                      1 − aζ

Непосредственными вычислениями получаем

                                                  1 − |a|2
                                 T 0 (ζ) = eiα             ,
                                                 (1 − aζ)2

                                         |1 − aζ|2 − |ζ − a|2
                        1 − |T (ζ)|2 =                        =
                                              |1 − aζ|2
                    1 + |a|2 |ζ|2 − |ζ|2 − |a|2   (1 − |a|2 )(1 − |ζ|2 )
                =                               =                        ,
                             |1 − aζ|2                 |1 − aζ|2
и, следовательно,
                                               1 − |T (ζ)|2
                                |T 0 (ζ)| =                 .
                                                 1 − |ζ|2

Страницы