Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 19 стр.

Глава 2

Метрика Пуанкаре и принцип
гиперболической метрики

2.1    О моделях геометрии Лобачевского
   Как известно, формально геометрия Лобачевского строится на тех же
аксиомах, что и геометрия Евклида, но с заменой одной из аксиом, а именно,
аксиомы о параллельных, на новую:
   на плоскости через точку, взятую вне заданной прямой, можно провести
не менее двух прямых, не пересекающих заданную.

   Изменение всего лишь одной аксиомы (пятого постулата геометрии Ев-
клида) приводит к совершенно новой планиметрии. В частности, оказыва-
ется, что для суммы углов любого треугольника выполняется неравенство
α + β + γ < 180◦ . Появляются новые формулы для всех метрических ве-
личин, в частности, новые формулы для вычисления площадей фигур, длин
дуг и т. п. Для бесконечно малых фигур (т. е. асимптотически) новые форму-
лы совпадают со старыми, в частности, для треугольников малых размеров
α + β + γ ≈ 180◦ .

   Н. И. Лобачевский надеялся, что в истинности его геометрии можно убе-
диться на основе изучения свойств геометрических фигур больших размеров
путем астрономических наблюдений. Но такая программа не реализована до
сих пор. Практическая значимость геометрии Лобачевского была установле-
на иным путем, на моделях.

   Первая интерпретация принадлежит Е. Бельтрами (1868 год), а именно,
им была найдена поверхность, на которой реализуется геометрия Лобачев-
ского, если отрезками прямых на этой поверхности считать геодезические

                                   19