Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

24 Глава 2. Метрика Пуанкаре и принцип гиперболической метрики
уменьшаться за исключением случая, когда эта функция осуществляет одно-
листное конформное отображение области определения функции на область
ее значений.
Для доказательства нам потребуется известная из общего курса ТФКП
Лемма 2.1. (Лемма Шварца.) Пусть w = ϕ(z) голоморфна в круге |z| < 1
и удовлетворяет условиям: ϕ(0) = 0 и |ϕ(z)| ≤ 1, |z| < 1. Тогда
1) |ϕ(z)| ≤ |z|, 0 < |z| < 1,
2) |ϕ
0
(0)| ≤ 1.
Равенство в этих неравенствах имеет место тогда и только тогда,
когда ϕ(z) = e
iα
z, α – вещественное число.
Рис. 2.2: К лемме Шварца
Доказательство принципа гиперболической метрики. Рассмотрим
произвольную точку z
0
∈ Ω
1
и зафиксируем ее, и пусть w
0
= f (z
0
). По теоре-
ме Римана о конформных отображениях существует однолистное конформ-
ное отображение F : Ω
1
→ Ω
2
, удовлетворяющее условию F (z
0
) = w
0
. Рас-
смотрим также однолистное конформное отображение g : D → Ω
1
, g(0) = z
0
.
Введем еще одну вспомогательную функцию
ϕ(ζ) = g
−1
(F
−1
(f(g(ζ)))), ϕ(0) = 0.
По лемме Шварца имеем точную оценку |ϕ
0
(0)| ≤ 1. Поскольку имеют
место формулы f(g(ζ)) = F (g(ϕ(ζ))) и
f
0
(z)g
0
(z) = F
0
(g(ϕ(ζ)))g
0
(ϕ(ζ))ϕ
0
(ζ),
то в точке ζ = 0 получаем равенство
f
0
(z
0
)g
0
(0) = F
0
(z
0
)g
0
(0)ϕ
0
(0).
24       Глава 2. Метрика Пуанкаре и принцип гиперболической метрики

уменьшаться за исключением случая, когда эта функция осуществляет одно-
листное конформное отображение области определения функции на область
ее значений.
    Для доказательства нам потребуется известная из общего курса ТФКП
Лемма 2.1. (Лемма Шварца.) Пусть w = ϕ(z) голоморфна в круге |z| < 1
и удовлетворяет условиям: ϕ(0) = 0 и |ϕ(z)| ≤ 1, |z| < 1. Тогда
   1) |ϕ(z)| ≤ |z|, 0 < |z| < 1,
   2) |ϕ0 (0)| ≤ 1.
   Равенство в этих неравенствах имеет место тогда и только тогда,
когда ϕ(z) = eiα z, α – вещественное число.




                          Рис. 2.2: К лемме Шварца


   Доказательство принципа гиперболической метрики. Рассмотрим
произвольную точку z0 ∈ Ω1 и зафиксируем ее, и пусть w0 = f (z0 ). По теоре-
ме Римана о конформных отображениях существует однолистное конформ-
ное отображение F : Ω1 → Ω2 , удовлетворяющее условию F (z0 ) = w0 . Рас-
смотрим также однолистное конформное отображение g : D → Ω1 , g(0) = z0 .
   Введем еще одну вспомогательную функцию
                     ϕ(ζ) = g −1 (F −1 (f (g(ζ)))), ϕ(0) = 0.
   По лемме Шварца имеем точную оценку |ϕ0 (0)| ≤ 1. Поскольку имеют
место формулы f (g(ζ)) = F (g(ϕ(ζ))) и
                    f 0 (z)g 0 (z) = F 0 (g(ϕ(ζ)))g 0 (ϕ(ζ))ϕ0 (ζ),
то в точке ζ = 0 получаем равенство
                        f 0 (z0 )g 0 (0) = F 0 (z0 )g 0 (0)ϕ0 (0).

Страницы