Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.3. Лемма Шварца и принцип гиперболической метрики 25
Так как g
0
(0) 6= 0, то последнее соотношение вместе с неравенством |ϕ
0
(0)| ≤ 1
приводят к требуемой оценке
|f
0
(z
0
)| ≤ |F
0
(z
0
)| =
λ
Ω
1
(z
0
)
λ
Ω
2
(w
0
)
=
λ
Ω
1
(z
0
)
λ
Ω
2
(f(z
0
))
.
В случае равенства по лемме Шварца имеем ϕ(ζ) = e
iα
ζ, что равносильно
равенству f(g(ζ)) ≡ F (g(e
iα
ζ)). Следовательно, в случае равенства имеем:
f(z) = F (ψ(z)), где ψ(z) = g(e
iα
g
−1
(z)) – конформный автоморфизм Ω
1
.
Таким образом, функция f(z) определяет одно из однолистных конформных
отображений Ω
1
на Ω
2
.
Этим и завершается доказательство.
Отметим, что эта теорема остается справедливой для произвольных ги-
перболических областей (т. е. для областей Ω
1
и Ω
2
на расширенной комплекс-
ной плоскости C, имеющих не менее трех граничных точек) с естественной
оговоркой: экстремальным является накрывающее конформное отображение
Ω
1
на Ω
2
.
Пусть λ
Ω
(z) – коэффициент метрики Пуанкаре для гиперболической об-
ласти. Величина
1
λ
Ω
(z)
называется гиперболическим радиусом области Ω в точке z. Если Ω – одно-
связная область, не содержащая бесконечно удаленной точки, то величина
R
Ω
(z) = λ
−1
Ω
(z) называется конформным радиусом. Например, для единич-
ного круга D = {z : |z| < 1} конформный радиус определяется равенством
R
D
(z) = 1 − |z|
2
.
Следует привести общепринятое определение конформного радиуса.
Пусть Ω – односвязная область на плоскости, не совпадающая со всей плос-
костью C, и z
0
– фиксированная точка этой области. В силу теоремы
Римана существует положительное число R и однолистное конформное
отображение f : Ω → D
R
= {z : |z| < R}, нормированное условиями
f(z
0
) = 0, f
0
(z
0
) = 1.
Именно это число R и называется конформным радиусом Ω в точке z
0
.
Убедитесь в том, что определенное таким образом положительное число R
совпадает с величиной λ
−1
Ω
(z
0
).
2.3. Лемма Шварца и принцип гиперболической метрики                           25

Так как g 0 (0) 6= 0, то последнее соотношение вместе с неравенством |ϕ0 (0)| ≤ 1
приводят к требуемой оценке

                                                λΩ1 (z0 )    λΩ1 (z0 )
                  |f 0 (z0 )| ≤ |F 0 (z0 )| =             =               .
                                                λΩ2 (w0 )   λΩ2 (f (z0 ))


    В случае равенства по лемме Шварца имеем ϕ(ζ) = eiα ζ, что равносильно
равенству f (g(ζ)) ≡ F (g(eiα ζ)). Следовательно, в случае равенства имеем:
f (z) = F (ψ(z)), где ψ(z) = g(eiα g −1 (z)) – конформный автоморфизм Ω1 .
Таким образом, функция f (z) определяет одно из однолистных конформных
отображений Ω1 на Ω2 .
    Этим и завершается доказательство.

   Отметим, что эта теорема остается справедливой для произвольных ги-
перболических областей (т. е. для областей Ω1 и Ω2 на расширенной комплекс-
ной плоскости C, имеющих не менее трех граничных точек) с естественной
оговоркой: экстремальным является накрывающее конформное отображение
Ω1 на Ω2 .

   Пусть λΩ (z) – коэффициент метрики Пуанкаре для гиперболической об-
ласти. Величина
                                   1
                                 λΩ (z)
называется гиперболическим радиусом области Ω в точке z. Если Ω – одно-
связная область, не содержащая бесконечно удаленной точки, то величина
RΩ (z) = λ−1
           Ω (z) называется конформным радиусом. Например, для единич-
ного круга D = {z : |z| < 1} конформный радиус определяется равенством
RD (z) = 1 − |z|2 .
   Следует привести общепринятое определение конформного радиуса.
Пусть Ω – односвязная область на плоскости, не совпадающая со всей плос-
костью C, и z0 – фиксированная точка этой области. В силу теоремы
Римана существует положительное число R и однолистное конформное
отображение f : Ω → DR = {z : |z| < R}, нормированное условиями

                                f (z0 ) = 0, f 0 (z0 ) = 1.

Именно это число R и называется конформным радиусом Ω в точке z0 .
Убедитесь в том, что определенное таким образом положительное число R
совпадает с величиной λ−1
                       Ω (z0 ).

Страницы