Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.4. Задачи и упражнения 27
4) Докажите следующий принцип монотоннности для коэффициента ги-
перболической метрики: если Ω
0
⊂ Ω, то λ
Ω
0
(z
0
) ≥ λ
Ω
(z
0
) для любой точки
z
0
∈ Ω
0
.
Указание. Рассмотрите накрывающие конформные отображения f : D →
Ω
0
и F : D → Ω, удовлетворяющие условию f(0) = F (0) = z
0
. Тогда
λ
Ω
(z
0
)|F
0
(0)| = λ
Ω
0
(z
0
)|f
0
(0)| = λ
D
(0) = 1.
Остается сравнить модули производных в начале координат с привлечением
леммы Шварца к функции ϕ(ζ) := F
−1
(f(ζ)), однозначная ветвь которой
выделена условием ϕ(0) = 0.
5) Покажите, что конформный радиус R = R(x, y) = R
Ω
(x + iy) как
функция двух вещественных переменных x и y удовлетворяет следующему
уравнению Лиувилля
R ∆R = |∇R|
2
− 4,
где использованы стандартные обозначения для оператора Лапласа и гради-
ента функции:
∆R =
∂
2
R
∂x
2
+
∂
2
R
∂y
2
, ∇R =
µ
∂R
∂x
,
∂R
∂y
, |∇R| =
s
µ
∂R
∂x
2
+
µ
∂R
∂y
2
.
6) Покажите, что с использованием формальных производных по пере-
менным z = x + iy и z = x − iy, определяемых формулами Виртингера,
оператор Лапласа выражается формулой
∆R = 4
∂
2
R
∂z ∂z
,
а уравнение Лиувилля можно представить в следующем виде
R
∂
2
R
∂z ∂z
=
¯
¯
¯
¯
∂R
∂z
¯
¯
¯
¯
2
− 1.
7) Знаменитая гипотеза Кшижа (J. G. Krzy˙z): если функция f(z) является
аналитической в единичном круге и удовлетворяет условию 0 < |f(z)| ≤ 1
для любого z ∈ D, то для коэффициентов ее ряда Тейлора
f(z) =
∞
X
n=0
a
n
z
n
, |z| < 1,
2.4. Задачи и упражнения                                                27

    4) Докажите следующий принцип монотоннности для коэффициента ги-
перболической метрики: если Ω0 ⊂ Ω, то λΩ0 (z0 ) ≥ λΩ (z0 ) для любой точки
z0 ∈ Ω0 .

   Указание. Рассмотрите накрывающие конформные отображения f : D →
Ω0 и F : D → Ω, удовлетворяющие условию f (0) = F (0) = z0 . Тогда

                 λΩ (z0 )|F 0 (0)| = λΩ0 (z0 )|f 0 (0)| = λD (0) = 1.

Остается сравнить модули производных в начале координат с привлечением
леммы Шварца к функции ϕ(ζ) := F −1 (f (ζ)), однозначная ветвь которой
выделена условием ϕ(0) = 0.

   5) Покажите, что конформный радиус R = R(x, y) = RΩ (x + iy) как
функция двух вещественных переменных x и y удовлетворяет следующему
уравнению Лиувилля
                         R ∆R = |∇ R|2 − 4,
где использованы стандартные обозначения для оператора Лапласа и гради-
ента функции:
                           µ         ¶           sµ     ¶2 µ      ¶2
         ∂ 2R ∂ 2R           ∂R ∂R                   ∂R       ∂R
  ∆R =       +      , ∇R =      ,      , |∇ R| =          +          .
         ∂x2   ∂y 2           ∂x ∂y                  ∂x        ∂y


   6) Покажите, что с использованием формальных производных по пере-
менным z = x + iy и z = x − iy, определяемых формулами Виртингера,
оператор Лапласа выражается формулой
                                               ∂ 2R
                                 ∆R = 4             ,
                                              ∂z ∂z
а уравнение Лиувилля можно представить в следующем виде
                                  ¯    ¯
                           ∂ 2R   ¯ ∂R ¯2
                        R       =¯     ¯ − 1.
                          ∂z ∂z ¯ ∂z ¯

   7) Знаменитая гипотеза Кшижа (J. G. Krzyż): если функция f (z) является
аналитической в единичном круге и удовлетворяет условию 0 < |f (z)| ≤ 1
для любого z ∈ D, то для коэффициентов ее ряда Тейлора
                                    ∞
                                    X
                          f (z) =         an z n ,   |z| < 1,
                                    n=0

Страницы