Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

26 Глава 2. Метрика Пуанкаре и принцип гиперболической метрики
Рис. 2.3: Конформный радиус
2.4 Задачи и упражнения
1) Докажите неравенство Шварца-Пика: если функция z = ϕ(ζ) является
аналитической в единичном круге и |ϕ(ζ)| < 1, ζ ∈ D, то
|ϕ
0
(ζ)| ≤
1 − |ϕ(ζ)|
2
1 − |ζ|
2
, |ζ| < 1.
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда функция имеет вид z =
ϕ(ζ) = e
iα
(ζ − a)/(1 − aζ), где α – вещественное число, a ∈ D.
2) Найдите явные формулы для конформного радиуса и сформулируйте
принцип гиперболической метрики в случае, когда
a) область Π = {z = x + iy : y > 0} – верхняя полуплоскость;
b) область G = {z = x + iy : −π/2 < x < π/2} – полоса.
Указание. Для конформных радиусов должны быть получены формулы:
R
Π
(x + iy) = 2y и R
G
(x + iy) = 2 cos x.
3) Покажите, что коэффициент метрики Пуанкаре для двусвязной обла-
сти D
0
= {z = x + iy : 0 < |z| < 1} (т.е. для единичного круга с выколотым
центром) определяется формулой
1
λ
D
0
(z)
= 2 |z| ln
1
|z|
.
26       Глава 2. Метрика Пуанкаре и принцип гиперболической метрики




                      Рис. 2.3: Конформный радиус


2.4    Задачи и упражнения
   1) Докажите неравенство Шварца-Пика: если функция z = ϕ(ζ) является
аналитической в единичном круге и |ϕ(ζ)| < 1, ζ ∈ D, то

                                   1 − |ϕ(ζ)|2
                      |ϕ0 (ζ)| ≤               ,   |ζ| < 1.
                                     1 − |ζ|2
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда функция имеет вид z =
ϕ(ζ) = eiα (ζ − a)/(1 − aζ), где α – вещественное число, a ∈ D.

   2) Найдите явные формулы для конформного радиуса и сформулируйте
принцип гиперболической метрики в случае, когда
   a) область Π = {z = x + iy : y > 0} – верхняя полуплоскость;
   b) область G = {z = x + iy : −π/2 < x < π/2} – полоса.

   Указание. Для конформных радиусов должны быть получены формулы:
RΠ (x + iy) = 2y и RG (x + iy) = 2 cos x.

   3) Покажите, что коэффициент метрики Пуанкаре для двусвязной обла-
сти D0 = {z = x + iy : 0 < |z| < 1} (т.е. для единичного круга с выколотым
центром) определяется формулой
                              1                1
                                    = 2 |z| ln .
                            λD0 (z)           |z|

Страницы