Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

16 Глава 1. О теоремах Коши, Римана, Пуанкаре и Каратеодори
Указание. Воспользуйтесь формулой Коши для коэффициентов.
3) Пусть Ω – плоская область с положительно ориентированной границей
∂Ω, состоящей из кусочно-гладких кривых. Рассмотрим две функции f =
f(z) и g = g(z), определенные и непрерывно дифференцируемые в Ω как
функции двух вещественных переменных x, y (x + iy = z ∈ Ω). Пользуясь
формулой Грина, докажите соотношения
ZZ
Ω
µ
∂f
∂z
−
∂g
∂z
dx dy =
1
2i
Z
∂Ω
f dz + g dz;
f(z
0
) =
1
2πi
Z
∂Ω
f dz
z − z
0
−
1
π
ZZ
Ω
∂f
∂z
dx dy
z − z
0
(z
0
∈ Ω).
4) Найдите функцию w = f(z) с нормировками f(0) = 0, f
0
(0) = 1, кон-
формно отображающую единичный круг на всю плоскость, из которой уда-
лен луч {w = u + iv : 1/4 ≤ u < ∞, v = 0}.
Вспомните другие примеры конформных отображений из стандартного
курса ТФКП и постройте однолистные конформные отображения единично-
го круга на следующие области: полуплоскость, четверть плоскости, внеш-
ность отрезка прямой, полоса, полуполоса, внутренности квадрата и пра-
вильного треугольника.
5) Для аналитической функции f через {f, z} обозначим функцию, назы-
ваемую производной Шварца или шварцианом и определяемую равенством
{f, z} =
f
000
(z)
f
0
(z)
−
3
2
·
f
00
(z)
f
0
(z)
¸
2
.
5.1) Доказать, что шварциан {f, z} инвариантен относительно дробно-
линейных преобразований функции f.
Проверьте правильность приведенных ниже вычислений.
Решение. Пусть
g(z) =
af(z) + b
cf(z) + d
, ad − bc 6= 0,
требуется доказать, что {g, z} = {f, z}, где
{g, z} =
g
000
(z)
g
0
(z)
−
3
2
·
g
00
(z)
g
0
(z)
¸
2
.
16           Глава 1. О теоремах Коши, Римана, Пуанкаре и Каратеодори

     Указание. Воспользуйтесь формулой Коши для коэффициентов.

    3) Пусть Ω – плоская область с положительно ориентированной границей
∂Ω, состоящей из кусочно-гладких кривых. Рассмотрим две функции f =
f (z) и g = g(z), определенные и непрерывно дифференцируемые в Ω как
функции двух вещественных переменных x, y (x + iy = z ∈ Ω). Пользуясь
формулой Грина, докажите соотношения
                   ZZ µ           ¶              Z
                          ∂f   ∂g             1
                             −      dx dy =         f dz + g dz;
                      Ω   ∂z   ∂z            2i ∂Ω
                           Z              ZZ
                        1      f dz     1       ∂f dx dy
             f (z0 ) =               −                     (z0 ∈ Ω).
                       2πi ∂Ω z − z0 π       Ω ∂z z − z0


   4) Найдите функцию w = f (z) с нормировками f (0) = 0, f 0 (0) = 1, кон-
формно отображающую единичный круг на всю плоскость, из которой уда-
лен луч {w = u + iv : 1/4 ≤ u < ∞, v = 0}.
   Вспомните другие примеры конформных отображений из стандартного
курса ТФКП и постройте однолистные конформные отображения единично-
го круга на следующие области: полуплоскость, четверть плоскости, внеш-
ность отрезка прямой, полоса, полуполоса, внутренности квадрата и пра-
вильного треугольника.

   5) Для аналитической функции f через {f, z} обозначим функцию, назы-
ваемую производной Шварца или шварцианом и определяемую равенством
                                          ·        ¸2
                              f 000 (z) 3 f 00 (z)
                      {f, z} = 0       −              .
                              f (z)      2 f 0 (z)

   5.1) Доказать, что шварциан {f, z} инвариантен относительно дробно-
линейных преобразований функции f .

     Проверьте правильность приведенных ниже вычислений.

     Решение. Пусть
                               af (z) + b
                      g(z) =              ,    ad − bc 6= 0,
                               cf (z) + d
требуется доказать, что {g, z} = {f, z}, где
                                            ·        ¸2
                                g 000 (z) 3 g 00 (z)
                        {g, z} = 0       −              .
                                 g (z)     2 g 0 (z)

Страницы