Введение в геометрическую теорию функций. Авхадиев Ф.Г. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

14 Глава 1. О теоремах Коши, Римана, Пуанкаре и Каратеодори
Как известно, единственность конформного отображения f : D → Ω га-
рантируется нормировками Римана:
A) для заданных точек z
0
∈ D, w
0
∈ Ω выполняются условия
f(z
0
) = w
0
, f
0
(z
0
) = Ref
0
(z
0
) > 0.
Пусть область ограничена замкнутой жордановой кривой. Тогда, в силу
теоремы о граничном соответствии, римановы нормировки можно заменить
одним из следующих нормировок B) или C), также обеспечивающих един-
ственность конформного отображения. А именно, можно потребовать, что
B) для двух троек различных граничных точек
z
1
, z
2
, z
3
∈ ∂D, w
1
, w
2
, w
3
∈ ∂Ω,
выбранных с учетом ориентации границ, выполняются равенства
f(z
1
) = w
1
, f(z
2
) = w
2
, f(z
3
) = w
3
;
либо
C) для пары внутренних точек z
0
∈ D, w
0
∈ Ω и пары граничных точек
z
1
∈ ∂D, w
1
∈ ∂Ω выполняются равенства f(z
0
) = w
0
, f(z
1
) = w
1
.
Для повторения аналитической теории функций комплексного перемен-
ного я рекомендую первые 6 глав книги Е. Титчмарша [11].
Полное и вместе с тем доступное для студентов изложение теорем Римана,
Пуанкаре и Каратеодори можно найти в монографии Г. М. Голузина [7].
В заключение приведем обращение предыдущей теоремы, которое иногда
называют принципом соответствия границ.
Теорема 1.6. Пусть Ω
1
, Ω
2
– односвязные области, ограниченные замкну-
тыми жордановыми кривыми. Если функция f(z) непрерывна в замыкании
Ω
1
, голоморфна в Ω
1
, f(∂Ω
1
) = ∂Ω
2
и f : ∂Ω
1
→ ∂Ω
2
– гомеоморфизм, то
f(z) однолистна в области Ω
1
и конформно отображает ее на область Ω
2
.
Различные варианты и обобщения этой теоремы можно найти в обзоре
[2], в книгах [1] и [34].
1.5 Задачи и упражнения
1) Объясните без вычислений: почему радиус сходимости степенного ряда
1
1 + z
2
= 1 − z
2
+ z
4
− ... + (−1)
n
z
2n
+ ...
14           Глава 1. О теоремах Коши, Римана, Пуанкаре и Каратеодори

   Как известно, единственность конформного отображения f : D → Ω га-
рантируется нормировками Римана:
   A) для заданных точек z0 ∈ D, w0 ∈ Ω выполняются условия

                      f (z0 ) = w0 , f 0 (z0 ) = Ref 0 (z0 ) > 0.

   Пусть область ограничена замкнутой жордановой кривой. Тогда, в силу
теоремы о граничном соответствии, римановы нормировки можно заменить
одним из следующих нормировок B) или C), также обеспечивающих един-
ственность конформного отображения. А именно, можно потребовать, что
   B) для двух троек различных граничных точек

                     z1 , z2 , z3 ∈ ∂D,      w1 , w2 , w3 ∈ ∂Ω,

выбранных с учетом ориентации границ, выполняются равенства

                     f (z1 ) = w1 , f (z2 ) = w2 , f (z3 ) = w3 ;

либо
    C) для пары внутренних точек z0 ∈ D, w0 ∈ Ω и пары граничных точек
z1 ∈ ∂D, w1 ∈ ∂Ω выполняются равенства f (z0 ) = w0 , f (z1 ) = w1 .
    Для повторения аналитической теории функций комплексного перемен-
ного я рекомендую первые 6 глав книги Е. Титчмарша [11].
    Полное и вместе с тем доступное для студентов изложение теорем Римана,
Пуанкаре и Каратеодори можно найти в монографии Г. М. Голузина [7].

   В заключение приведем обращение предыдущей теоремы, которое иногда
называют принципом соответствия границ.
Теорема 1.6. Пусть Ω1 , Ω2 – односвязные области, ограниченные замкну-
тыми жордановыми кривыми. Если функция f (z) непрерывна в замыкании
Ω1 , голоморфна в Ω1 , f (∂Ω1 ) = ∂Ω2 и f : ∂Ω1 → ∂Ω2 – гомеоморфизм, то
f (z) однолистна в области Ω1 и конформно отображает ее на область Ω2 .
     Различные варианты и обобщения этой теоремы можно найти в обзоре
[2], в книгах [1] и [34].


1.5      Задачи и упражнения
     1) Объясните без вычислений: почему радиус сходимости степенного ряда
                    1
                       2
                         = 1 − z 2 + z 4 − ... + (−1)n z 2n + ...
                   1+z

Страницы