Основы научных исследований. Экспериментальное исследование технических устройств. Бакеев Д.А - 7 стр.

                                k          k              k
                     Y = θ0 + ∑θi xi + ∑θij xi x j + ∑θii xi2 + ...
                               i =1       i ≠1           i =1

    Коэффициенты этого полинома являются коэффициентами ряда Тейлора,
т. е. значениями частных производных в точке, вокруг которой осуществляется
разложение неизвестной функции, задающей решение неизвестных нам диф-
ференциальных уравнений. Так,

                             ∂Y           ∂ 2Y           ∂ 2Y
                        θi =     , θij =          , θii = 2 .
                             ∂xi         ∂xi ∂x j        ∂xi

    С точки зрения понимания механизма явлений, происходящих в исследуе-
мом объекте, имитационная математическая модель интереса не представляет.
Зная значения первых членов ряда Тейлора, невозможно восстановить исход-
ные дифференциальные уравнения, которыми описывается механизм процесса.
Правда, возможна физическая интерпретация полученных результатов, но она
не дает однозначных представлений о природе явлений. Зато полиномиальная
модель очень удобна для оптимизации значений функции отклика и при пла-
нировании эксперимента.
    Обычно рассматривается следующая схема планирования эксперимента.
При экспериментальном исследовании производят измерение функции отклика
F ( θ , х ) , которая зависит от неизвестных параметров (вектор θ ) и от перемен-
ных х (факторы). Факторы по выбору экспериментатора могут принимать зна-
чения из некоторого допустимого множества х.
    Целью эксперимента обычно является оценка всех или некоторых парамет-
ров θ или их функций либо проверка некоторых гипотез о параметрах θ .
В случае, когда отклик является случайной величиной, связь между перемен-
ными x1 , x2 , ... xk характеризуется математической моделью, которая называ-
ется уравнением регрессии. Для аппроксимации широко используются поли-
номиальные модели.
    Например, производится измерение частоты колебаний автогенератора (АГ).
Известно, что на нее влияют емкость контура (переменная х1 ), индуктивность
контура (переменная х2 ), напряжение источника питания (переменная х3 ). Час-
тота АГ является функцией переменных х1 , х2 , х3 и неизвестного вектора θ:

                        Y = F ( θ , х ) = θ0 + θ1 x1 + θ 2 x2 + θ 3 x3 .   (1.1.1)

    Численные значения вектора θ определяются из эксперимента. Уравнение
(1.1.1) называют уравнением регрессии.
    Исходя из цели эксперимента, формулируется критерий оптимальности
плана эксперимента. Под планом эксперимента понимается совокупность зна-
чений, задаваемых переменным х в эксперименте.
    Обычно оценки параметров θ ищут по методу наименьших квадратов, а ги-
потезы о параметрах θ проверяются с помощью F-критерия Фишера ввиду оп-

                                               7