Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

c
k
=
1
N
2
k
Z
b
a
dx W (x)f(x) Y
k
(x)
X(x)
Y
0
(x) = p
(0,0)
6= 0
n = 0 λ
0
= 0
Y
1
(x) = p
(1,1)
x + p
(1,0)
λ
1
Y
1
(x) = −p
(1,1)
W
0
(x)
W (x)
X(x) + X
0
(x)
,
λ
1
= −
W
0
(x)
W (x)
X(x) + X
0
(x)
0
,
n = 2
λ
2
Y
2
(x) = −Y
0
2
(x)
W
0
(x)
W (x)
X(x) + X
0
(x)
− X(x)Y
00
2
=
=
1
p
(1,1)
λ
1
Y
1
(x)Y
0
2
(x) − X(x)Y
00
2
.
Y
2
(x) Y
1
(x)Y
0
2
(x)
Y
00
2
= 2p
(2,2)
= const 6= 0
ãäå
                      1 Zb
                 ck = 2 dx W (x)f (x) Yk (x)             (15)
                     Nk a
åñòü îáîáùåííûå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå. Çäåñü è äàëåå áóäåì ïðåä-
ïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ, ïîçâîëÿþùèå ïî÷ëåííî èíòåãðè-
ðîâàòü è äèôôåðåíöèðîâàòü îáîáùåííûé ðÿä Ôóðüå (14). Çàèíòå-
ðåñîâàííûé ÷èòàòåëü íàéäåò â [3,11] óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ îðòîãî-
íàëüíûå ïîëèíîìû îáðàçóþò òàê íàçûâàåìûå ïîëíóþ è çàìêíóòóþ
ñèñòåìû ôóíêöèé. Äàëåå ìû áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ýòè óñëîâèÿ âû-
ïîëíåíû.

1.2.3. Êàêîâûì ìîæåò áûòü ïîëèíîì X(x) ?
Ïîñêîëüêó ìû èìååì äåëî ñ ïîëèíîìàìè, ó êîòîðûõ êîýôôèöèåíòû
ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè îòëè÷íû îò íóëÿ, òî Y0 (x) = p(0,0) 6= 0, à â ñèëó
óðàâíåíèÿ (6) ïðè n = 0 ïîëó÷àåì, ÷òî λ0 = 0. Äëÿ ïîëèíîìà ïåðâîé
ñòåïåíè Y1 (x) = p(1,1) x + p(1,0) óðàâíåíèå (8) äàåò ñîîòíîøåíèÿ
                                           0                     
                                    W (x)         0
              λ1 Y1 (x) = −p(1,1)        X(x) + X (x) ,             (16)
                                    W (x)
                                  0                 0
                            W (x)         0
                   λ1 = −        X(x) + X (x) ,                     (17)
                            W (x)
èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â (8) è
(16) îáÿçàíî áûòü ïîëèíîìîì ïåðâîé ñòåïåíè. Ïðè n = 2 èç (8) è
(16) ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå
                                  0                 
                       0     W (x)         0             00
       λ2 Y2 (x) = −Y2 (x)        X(x) + X (x) − X(x)Y2 =
                             W (x)
                           1                0            00
                  =            λ1 Y1 (x)Y2 (x) − X(x)Y2 .             (18)
                      p(1,1)
                                                              0
Ôóíêöèÿ Y2 (x) òàêæå êàê è ïðîèçâåäåíèå Y1 (x)Y2 (x) ÿâëÿþòñÿ ïî-
                                                00
ëèíîìàìè âòîðîãî ïîðÿäêà, à òàê êàê Y2 = 2p(2,2) = const 6= 0, òî

                                           11

Страницы