Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

γ 6= 0 σ
X
∗
(x
∗
) = γ
2
X(x)
X(x) W (x) λ
n
• X(x) W (x) [a, b]
[a, b] X(x) W (x)
• [a, b]
W (a) X(a) = W (b) X(b) = 0 .
• X(x)
• W (x)
m
Z
b
a
dx W (x) x
m
6= ∞.
• λ
n
λ
m
n 6= m
W (x)Y
m
(x)
λ
n
W (x)Y
n
(x)Y
m
(x) = −
h
W (x)X(x)Y
0
n
(x)
i
0
Y
m
(x) .
    - ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ñ ïîñòîÿí-
    íûìè γ 6= 0 (ìàñøòàáíûé ôàêòîð) è σ (ñäâèã), âî-âòîðûõ, ìàñ-
    øòàáíîå ïðåîáðàçîâàíèå X ∗ (x∗ ) = γ 2 X(x).

Ýòè ñâîéñòâà èíâàðèàíòíîñòè áóäóò èñïîëüçîâàíû ïðè êëàññèôèêà-
öèè îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ.

1.2.1. Êàêèìè óñëîâèÿìè îãðàíè÷åíà ñâîáîäà â âûáîðå êî-
ýôôèöèåíòîâ X(x), W (x) è λn ?

  • Ôóíêöèè X(x), W (x) îïðåäåëåíû íà èíòåðâàëå [a, b] è äîñòà-
    òî÷íîå ÷èñëî ðàç äèôôåðåíöèðóåìû âíóòðè ýòîãî èíòåðâàëà,
    ïðè÷åì âíóòðè èíòåðâàëà [a, b] íè X(x), íè W (x) íå èìåþò íó-
    ëåé.
  • Íà ãðàíèöàõ èíòåðâàëà [a, b] âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ

                      W (a) X(a) = W (b) X(b) = 0 .             (9)

  • Ôóíêöèÿ X(x) ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ôèêñèðîâàííîé ñòåïåíè.
  • Ôóíêöèÿ W (x) íåîòðèöàòåëüíà, è äëÿ íåå ñóùåñòâóþò âñå ìî-
    ìåíòû, òî åñòü, äëÿ ëþáîãî íîìåðà m
                           Z b
                                 dx W (x) xm 6= ∞ .            (10)
                            a

  • Ïàðàìåòðû λn è λm îòëè÷íû äðóã îò äðóãà, åñëè n 6= m.

1.2.2. Ïî÷åìó ðå÷ü èäåò îá îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìàõ?
Ïðîäåëàåì ñëåäóþùóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ îïåðàöèþ. Óðàâíåíèå (6)
óìíîæèì íà W (x)Ym (x) è çàïèøåì ñîîòíîøåíèå
                                     h            0   i0
           λn W (x)Yn (x)Ym (x) = − W (x)X(x)Yn (x) Ym (x) .   (11)




                                     9

Страницы