Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Y = Y
n
(x)
A(x) B(x)
λ
n
1
W (x)
d
dx
"
W (x) X(x)
d
dx
Y
n
(x)
#
+ λ
n
Y
n
(x) = 0 .
X(x) W (x) A(x)
B(x)
X(x) ≡ A(x) ,
W
0
(x)
W (x)
X(x) + X
0
(x) ≡ B(x) ,
X(x) Y
00
n
(x) +
W
0
(x)
W (x)
X(x) + X
0
(x)
Y
0
n
(x) + λ
n
Y
n
(x) = 0 .
•
W
∗
= µW Y
∗
n
= C
n
Y
n
µ C
n
•
X
∗
(x) = ωX(x) λ
∗
n
= ωλ
n
ω
•
x
∗
= γ(x + σ)
Ê èñêîìîé ôóíêöèè Y = Yn (x), ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (5), ïðåäúÿâ-
ëÿåòñÿ ñïåöèàëüíîå òðåáîâàíèå: îíà îáÿçàíà áûòü ïîëèíîìîì, ñòå-
ïåíü êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íîìåðîì. Ýòî òðåáîâàíèå ïðèâîäèò ê
ñóùåñòâåííûì îãðàíè÷åíèÿì íà âûáîð ôóíêöèé A(x) è B(x) è ïà-
ðàìåòðà λn , î êîòîðûõ ðå÷ü ïîéäåò íèæå. Óðàâíåíèå (5) ïðèíÿòî
ïðåäñòàâëÿòü â òàê íàçûâàåìîé ñàìîñîïðÿæåííîé ôîðìå
                     "                     #
          1     d            d
                  W (x) X(x) Yn (x) + λn Yn (x) = 0 .            (6)
         W (x) dx           dx
Íîâûå êîýôôèöèåíòû X(x) è W (x) ââåäåíû âìåñòî ñòàðûõ A(x) è
B(x) ñ ïîìîùüþ î÷åâèäíûõ ñîîòíîøåíèé
                               0
                             W (x)         0
          X(x) ≡ A(x) ,            X(x) + X (x) ≡ B(x) ,         (7)
                             W (x)
òàê ÷òî óðàâíåíèå (5) ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ
                        0             
         00       W (x)         0       0
  X(x) Yn (x) +        X(x) + X (x) Yn (x) + λn Yn (x) = 0 .   (8)
                  W (x)
Çäåñü è äàëåå øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî àðãóìåíòó. Óðàâ-
íåíèå (6), îïðåäåëÿþùåå îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû, îáëàäàåò ñëåäó-
þùèìè î÷åâèäíûìè ñâîéñòâàìè èíâàðèàíòíîñòè:

  • óðàâíåíèå (6) îñòàåòñÿ íåèçìåííûì ïî ôîðìå, åñëè ñîâåðøèòü
    íåçàâèñèìûå ìàñøòàáíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âåñîâîãî ìíîæèòå-
    ëÿ W ∗ = µW è ôóíêöèé Yn∗ = Cn Yn , ãäå µ è Cn - íåíóëåâûå
    êîíñòàíòû;

  • óðàâíåíèå (6) îñòàåòñÿ íåèçìåííûì ïî ôîðìå, åñëè ñîâåðøèòü
    îäíîâðåìåííî äâà ñâÿçàííûõ ìàñøòàáíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ:
    X ∗ (x) = ωX(x) è λ∗n = ωλn ñ íåíóëåâîé ïîñòîÿííîé ω ;

  • óðàâíåíèå (6) îñòàåòñÿ íåèçìåííûì ïî ôîðìå, åñëè ñîâåðøèòü
    îäíîâðåìåííî äâà ïðåîáðàçîâàíèÿ: âî-ïåðâûõ, x∗ = γ(x + σ)

                                   8

Страницы