Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

W (x)
[a, b]
{Y
n
(x)}
m 6= n m =
0, 1, ... W (x)
Z
b
a
dx W (x) x
m
6= ∞.
[a, b]
(−∞, b] [a, ∞) (−∞, ∞)
N
n
≡ ||Y
n
(x)||
N
2
n
≡
Z
b
a
dx W (x) Y
2
n
(x) ,
Y
n
(x)
p
(n,n)
N
n
= 1
{Y
n
(x)}
W (x)
{Y
n
(x)}
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 3
Ôóíêöèÿ W (x), íåîòðèöàòåëüíàÿ è íå èìåþùàÿ íóëåé âíóòðè èí-
òåðâàëà [a, b], íàçûâàåòñÿ âåñîâîé ôóíêöèåé (èëè êðàòêî âåñîì)
äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ {Yn (x)}, åñëè
äëÿ m 6= n âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (2), è äëÿ ëþáîãî íîìåðà m =
0, 1, ... ñóùåñòâóþò ñòåïåííûå ìîìåíòû ôóíêöèè W (x), òî åñòü,
                      Z b
                            dx W (x) xm 6= ∞ .                 (3)
                       a

Îïðåäåëåíèÿ 1,2,3 ïðèìåíèìû êàê äëÿ êîíå÷íîãî èíòåðâàëà [a, b],
òàê è äëÿ èíòåðâàëîâ òèïà (−∞, b], [a, ∞), (−∞, ∞). Â òðåõ ïîñëåä-
íèõ ñëó÷àÿõ ñóùåñòâîâàíèå ñòåïåííûõ ìîìåíòîâ (3) ïîäðàçóìåâàåò
àáñîëþòíóþ ñõîäèìîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðà-
ëîâ.

ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 4
×èñëî Nn ≡ ||Yn (x)||, çàäàííîå ñîîòíîøåíèåì
                              Z b
                    Nn2   ≡         dx W (x) Yn2 (x) ,         (4)
                               a

íàçûâàåòñÿ íîðìîé ïîëèíîìà Yn (x).

ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 5
Åñëè êîýôôèöèåíòû p(n,n) ïîëîæèòåëüíû è Nn = 1, òî ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ {Yn (x)} íàçûâàåòñÿ îðòî-
íîðìèðîâàííîé.
Ñâÿçü ìåæäó âåñîâûìè ôóíêöèÿìè è îðòîãîíàëüíûìè ïîëèíîìàìè
ðåãëàìåíòèðóåò
ÒÅÎÐÅÌÀ 1
Äëÿ âñÿêîé âåñîâîé ôóíêöèè W (x) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ îð-
òîíîðìèðîâàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëèíîìîâ {Yn (x)}.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â êíèãå [5].

                                       6

Страницы