Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 7 стр.

Èç ïðèâåäåííûõ îïðåäåëåíèé è òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî, âîîáùå ãîâî-
ðÿ, ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïðèìåðîâ âåñîâûõ ôóíêöèé,
à ïîòîìó è áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îðòîãîíàëü-
íûõ ïîëèíîìîâ. Îäíàêî, â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå îñîáóþ ðîëü èã-
ðàþò òàê íàçûâàåìûå êëàññè÷åñêèå îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû. Êëþ-
÷åâûì ñâîéñòâîì, âûäåëÿþùèì èõ èç îáùåãî ìíîæåñòâà îðòîãîíàëü-
íûõ ïîëèíîìîâ, ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî êëàññè÷åñêèå îðòîãîíàëüíûå ïî-
ëèíîìû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðåøåíèÿ íåêîòîðîãî äèôôåðåíöèàëü-
íîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà â îáûêíîâåííûõ ïðîèçâîäíûõ. Íà-
÷èíàÿ ñî ñëåäóþùåãî ðàçäåëà, ìû áóäåì èìåòü äåëî èñêëþ÷èòåëüíî
ñ êëàññè÷åñêèìè îðòîãîíàëüíûìè ïîëèíîìàìè, îäíàêî, áóäåì îïóñ-
êàòü äëÿ ïðîñòîòû òåðìèí "êëàññè÷åñêèå êàê ýòî îáû÷íî äåëàåòñÿ
âî âñåõ öèòèðóåìûõ èñòî÷íèêàõ [1-12].


       1.2. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå,
  ïðåäñòàâëÿþùåå êëàññè÷åñêèå îðòîãîíàëüíûå
                  ïîëèíîìû
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ âîñïîëüçóåìñÿ ðàññóæ-
äåíèÿìè, âïåðâûå èçëîæåííûìè â ðàáîòå [10], ñîãëàñíî êîòîðûì âñå
ôóíäàìåíòàëüíûå ñâîéñòâà îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ìîãóò áûòü
ââåäåíû, åñëè ñòàðòîâîé òî÷êîé äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñòàíåò ëèíåéíîå
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â îáûêíîâåííûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðî-
ãî ïîðÿäêà ñëåäóþùåãî âèäà:

                d2             d
           A(x) 2 Y (x) + B(x) Y (x) + λn Y (x) = 0 .            (5)
               dx             dx
Êîýôôèöèåíòû A(x) è B(x) ïî îïðåäåëåíèþ íå çàâèñÿò îò ïîðÿäêî-
âîãî íîìåðà n, íî ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x,
à λn , íàîáîðîò, çàâèñèò îò íîìåðà n, íî íå çàâèñèò îò ïåðåìåííîé x.


                                 7