Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

n
Y
n
(x) = p
(n,n)
x
n
+ p
(n,n−1)
x
n−1
+ ... + p
(n,1)
x + p
(n,0)
.
p
(n,m)
x
m
p
(n,n)
6= 0
{Y
n
(x)}
{Y
n
(x)}
W (x) [a, b]
Y
n
(x) Y
m
(x) m 6= n
Z
b
a
dx W (x)Y
m
(x)Y
n
(x) = 0 .
              ×ÀÑÒÜ I.
   ÎÁÙÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÕ
            ÏÎËÈÍÎÌÎÂ
                              1.1. Ââåäåíèå
Òåðìèí îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû, ïîíèìàåìûé â øèðîêîì ñìûñëå,
ìîæíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå, åñëè îñíîâûâàòüñÿ òîëüêî íà òðåõ
ïîíÿòèÿõ: ïîëèíîì, îðòîãîíàëüíîñòü è âåñîâàÿ ôóíêöèÿ.

ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1
Ïîëèíîìîì ñòåïåíè n íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ âèäà

        Yn (x) = p(n,n) xn + p(n,n−1) xn−1 + ... + p(n,1) x + p(n,0) .   (1)

Ïîëèíîì îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íàáîðîì êîýôôèöèåíòîâ p(n,m) .
Äâà ïîëèíîìà ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè äðóã äðóãó òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà ðàâíû âñå êîýôôèöèåíòû ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíÿõ xm .
Êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè ïðèíÿòî ñ÷èòàòü îòëè÷íûì îò
íóëÿ, òî åñòü, p(n,n) 6= 0.  òàêîì ñëó÷àå ìû èìååì äåëî ñ ïîëèíîìîì,
ñòåïåíü êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íîìåðîì. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàêèõ
ïîëèíîìîâ â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì {Yn (x)}.

ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëèíîìîâ {Yn (x)} íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëü-
íîé ñ âåñîì W (x) íà èíòåðâàëå [a, b], åñëè äëÿ ëþáîé ïàðû ïîëèíî-
ìîâ Yn (x) è Ym (x) ñ íåñîâïàäàþùèìè íîìåðàìè m 6= n âûïîëíÿåò-
ñÿ ñëåäóþùåå èíòåãðàëüíîå ðàâåíñòâî:
                      Z b
                            dx W (x)Ym (x)Yn (x) = 0 .                   (2)
                       a




                                       5

Страницы