Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X(x)
W (x)
W
0
(x)
W (x)
=
q
0
+ q
1
x
X(x)
,
n
x
x
Y
n
(x) n
Z
n
(x) =
1
K
n
W (x)
d
n
dx
n
[W (x)X
n
(x)] ,
K
n
W (x)
X(x)
èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò âàæíåéøèé âûâîä: ïîëèíîì X(x)
èìååò ïîðÿäîê íå âûøå âòîðîãî ! Äàííîå óòâåðæäåíèå â êîìáèíà-
öèè ñ ñîîòíîøåíèåì (16) ïîçâîëÿåò çàÿâèòü, ÷òî âåñîâàÿ ôóíêöèÿ
W (x) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ïèðñîíà [5]
                           0
                        W (x) q0 + q1 x
                              =         ,                    (19)
                        W (x)   X(x)
ïðàâàÿ ñòîðîíà êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòíîøåíèå ïðîèçâîëü-
íûõ ïîëèíîìîâ ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà, ñîîòâåòñòâåííî.  êà÷å-
ñòâå ôèíàëüíîãî çàìå÷àíèÿ ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî
íîìåðà n ëèøü îäíî èç äâóõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ
(6) ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì äëÿ âñåõ êîíå÷íûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà
x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [3,9]). Òàêîâûì ÿâëÿåòñÿ
êàê ðàç ïîëèíîìèàëüíîå ðåøåíèå.


        1.3. Ôîðìóëà Ðîäðèãà (Rodrigues O.)
Êàê èçâåñòíî, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6) åñòü ëèíåéíàÿ êîìáè-
íàöèÿ äâóõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé. Ïåðâîå ôóíäàìåíòàëüíîå
ðåøåíèå, îãðàíè÷åííîå äëÿ âñåõ êîíå÷íûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà x èç
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, çàäàåòñÿ ôîðìóëîé Ðîäðèãà, êîòîðàÿ ïîçâîëÿ-
åò íàéòè Yn (x) â ðåçóëüòàòå n-êðàòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.

ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6
Ôîðìóëîé Ðîäðèãà íàçûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèå
                           1      dn
               Zn (x) =             n
                                      [W (x)X n (x)] ,       (20)
                        Kn W (x) dx
ãäå Kn - íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå, W (x) - ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþ-
ùàÿ óðàâíåíèþ Ïèðñîíà (19) è âñåì òðåáîâàíèÿì, ïðåäúÿâëÿåìûì
ê âåñîâûì ôóíêöèÿì, à X(x) -ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå âòîðîé,
òàêèå, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (9).

                                 12

Страницы