Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
k
(x) k
R
k+1
(x) = [(q
0
+ q
1
x) + (m − k + 1)X
0
(x)] R
k
(x) + X(x)R
0
k
(x)
R
0
(x) = 1 k = m + 1 k = m
Z
m+1
(x)
Z
m+1
(x) =
1
K
m+1
R
m+1
(x).
Z
m+1
(x)
m+1
k < n
Z
b
a
dxW (x)x
k
Z
n
(x) = 0.
Z
n
(x) n
Z
n
(x)
Z
b
a
dxW (x)Z
2
n
(x) = 0.
W (x)
Z
n
(x) ≡ 0
Z
n
(x)
n
Z
m
(x) m 6= n
Z
b
a
dxW (x)Z
m
(x)Z
n
(x) = 0 ,
ãäå Rk (x) - ïîëèíîìû ñòåïåíè íå âûøå k , çàäàííûå ðåêóððåíòíîé
ôîðìóëîé

 Rk+1 (x) = [(q0 + q1 x) + (m − k + 1)X 0 (x)] Rk (x) + X(x)Rk0 (x) (24)

ñî ñòàðòîâûì çíà÷åíèåì R0 (x) = 1. Ïîëàãàÿ k = m + 1 è k = m â
ôîðìóëàõ (23) è (24), ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷èì äëÿ Zm+1 (x) ñîãëàñíî
(22)
                                           1
                      Zm+1 (x) =   Rm+1 (x).               (25)
                              Km+1
Èíûìè ñëîâàìè, Zm+1 (x) åñòü ïîëèíîì, ñòåïåíü êîòîðîãî íå âûøå
m+1. Ïåðâûé ýòàï äîêàçàòåëüñòâà çàâåðøåí. Íà âòîðîì ýòàïå äîêà-
çàòåëüñòâà óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî ïðè k < n
                          Z b
                                dxW (x)xk Zn (x) = 0.              (26)
                           a

Äåéñòâèòåëüíî, èíòåãðèðóÿ (26) ñ ó÷åòîì (22) ïî ÷àñòÿì è èñïîëüçóÿ
ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (9), ìû óáåæäàåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî ðà-
âåíñòâà. Äàëåå, äåéñòâóÿ ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî
íåíóëåâîé ïîëèíîì Zn (x) èìååò ñòåïåíü íèæå, ÷åì n. Òîãäà, ïîñëå-
äîâàòåëüíî óìíîæàÿ ðàâåíñòâî (26) íà òå êîýôôèöèåíòû, êîòîðûå
îïðåäåëÿþò ïîëèíîì Zn (x), è ñêëàäûâàÿ ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà, îá-
íàðóæèì, ÷òî
                           Z b
                                   dxW (x)Zn2 (x) = 0.             (27)
                               a

Ïðè íåîòðèöàòåëüíîé âåñîâîé ôóíêöèè W (x) ýòî âîçìîæíî ëèøü
äëÿ Zn (x) ≡ 0, ÷òî îïðîâåðãàåò ñäåëàííîå ïðåäïîëîæåíèå. Òàêèì
îáðàçîì, ñòåïåíü ïîëèíîìà Zn (x), äåéñòâèòåëüíî, â òî÷íîñòè ðàâíà
n. Íàêîíåö, ïîñëåäîâàòåëüíî óìíîæàÿ ðàâåíñòâî (26) íà òå êîýôôè-
öèåíòû, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ïîëèíîì Zm (x) (m 6= n), è ñêëàäûâàÿ
ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà, îáíàðóæèì, ÷òî
                     Z b
                           dxW (x)Zm (x)Zn (x) = 0 ,               (28)
                      a


                                          14

Страницы