Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

{Z
n
(x)}
{Z
n
(x)}
λ
n
λ
n
= −n
"
K
1
p
(1,1)
+
1
2
(n − 1)X
00
#
= n
"
λ
1
−
1
2
(n − 1)X
00
#
.
S
n
(x) ≡
d
n+1
dx
n+1
"
X
d
dx
(W X
n
)
#
.
X(x)
X(x)
S
n
(x)
S
n
(x)=K
n
X
d
2
dx
2
(W Z
n
)+(n+1)X
0
d
dx
(W Z
n
)+
1
2
n(n+1)X
00
W Z
n
.
Z
1
(x)
X
0
(x)
X
d
dx
(W X
n
) = [K
1
Z
1
+ (n − 1)X
0
]W X
n
.
n + 1
S
n
(x)
S
n
(x) = K
n
(
h
K
1
Z
1
+ (n − 1)X
0
i
d
dx
(W Z
n
)+
òî åñòü, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {Zn (x)} ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, íîìåð êîòîðûõ ñîâ-
ïàäàåò ñî ñòåïåíüþ. Òåîðåìà äîêàçàíà.

ÒÅÎÐÅÌÀ 3

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {Zn (x)}, çàäàííàÿ ñ ïîìîùüþ ôîð-
ìóëû Ðîäðèãà (20), ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (8) ñ êîíñòàí-
òîé λn , ðàâíîé
            "                           #   "                      #
                      1        00       1        00
   λn = −n K1 p(1,1) + (n − 1)X = n λ1 − (n − 1)X .                    (29)
                      2                 2
Äîêàçàòåëüñòâî
Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ
                                    "                  #
                             dn+1  d
                    Sn (x) ≡ n+1 X (W X n ) .                          (30)
                            dx    dx
Ïîìíÿ î òîì, ÷òî X(x) - ýòî ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå âòîðîé, ïðè-
ìåíÿÿ ôîðìóëó Ëåéáíèöà äëÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ,
â êîòîðîì X(x) èãðàåò ðîëü ïåðâîãî ñîìíîæèòåëÿ, à òàêæå íåïî-
ñðåäñòâåííî èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ðîäðèãà (20), ïðåäñòàâèì Sn (x) â
âèäå
                                                                      
             d2               0 d         1       00
 Sn (x)=Kn X 2 (W Zn )+(n+1)X
                                 (W Zn )+ n(n+1)X W Zn  .
            dx                 dx         2
                                                       (31)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ôîðìóëå (30) â êâàäðàò-
íûõ ñêîáêàõ, ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïîëèíîìû ïåðâîé ñòåïåíè Z1 (x)
   0
è X (x):
             d                             0
               (W X n ) = [K1 Z1 + (n − 1)X ]W X n .
                X                                       (32)
            dx
Äèôôåðåíöèðóÿ ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (32) n + 1 ðàç, ïîëó÷àåì
àëüòåðíàòèâíóþ ôîðìóëó äëÿ Sn (x)
                         (
                             h                  0i    d
           Sn (x) = Kn       K1 Z1 + (n − 1)X           (W Zn )+
                                                     dx
                                   15

Страницы