Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

+(n + 1)
h
K
1
p
(1,1)
+ (n − 1)X
00
i
W Z
n
o
.
W Z
n
X
d
2
dx
2
(W Z
n
) = (K
1
Z
1
− 2X
0
)
d
dx
(W Z
n
)+
+(n + 1)
"
K
1
p
(1,1)
+
Ã
1
2
n − 1
!
X
00
#
W Z
n
.
n = 1
W
Z
n
X(x) Z
00
n
(x) +
W
0
(x)
W (x)
X(x) + X
0
(x)
Z
0
n
(x)−
−n
"
K
1
p
(1,1)
+
1
2
(n − 1)X
00
#
Z
n
(x) = 0 .
λ
n
λ
n
Z
n
(x) Y
n
(x)
λ
n
x
[a, b]
P
n
(x)
λ
n
                               h                    00 i       o
                  +(n + 1) K1 p(1,1) + (n − 1)X W Zn .             (33)
Ñðàâíèâàÿ (31) è (33), íàõîäèì, ÷òî ôóíêöèÿ W Zn óäîâëåòâîðÿåò
óðàâíåíèþ
                d2                         0    d
                  X(W Z n ) = (K 1 Z1 − 2X   )    (W Zn )+
               dx2                             dx
                      "             Ã        !       #
                                      1           00
             +(n + 1) K1 p(1,1) + n − 1 X W Zn .            (34)
                                      2
Íàêîíåö, åñëè âûïîëíèòü äèôôåðåíöèðîâàíèå â (34), èñïîëüçóÿ ôîð-
ìóëó Ðîäðèãà ïðè n = 1 (20) è äèôôåðåíöèàëüíîå ñëåäñòâèå ýòîé
ôîðìóëû, çàòåì ðàçäåëèòü ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íà W , òî â ðåçóëü-
òàòå îáíàðóæèì, ÷òî Zn óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
                                      0                   
                          00W (x)         0      0
            X(x) Zn (x) +        X(x) + X (x) Zn (x)−
                            W (x)
                      "                         #
                           1         00
             −n K1 p(1,1) + (n − 1)X Zn (x) = 0 .             (35)
                           2
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå äåéñòâèòåëüíî ñîâïàäàåò ñ (8), åñëè êîíñòàíòà
λn ïðåäñòàâëåíà ôîðìóëîé (29). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôîðìóëà Ðîäðè-
ãà, äåéñòâèòåëüíî, äàåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (8), íî ïðè îãðàíè÷åíèè
íà êîíñòàíòó λn , à ôóíêöèè Zn (x) è Yn (x) ìîãóò îòëè÷àòüñÿ ëèøü
ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì.

ÒÅÎÐÅÌÀ 4

Åñëè êîíñòàíòû λn îòëè÷àþòñÿ îò çíà÷åíèé, çàäàííûõ ôîðìó-
ëàìè (29), òî óðàâíåíèå (8) íå äîïóñêàåò ñóùåñòâîâàíèÿ íåòðè-
âèàëüíûõ (ò.å., íå ðàâíûõ íóëþ òîæäåñòâåííî) ðåøåíèé, îãðàíè-
÷åííûõ äëÿ âñåõ êîíå÷íûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà x èç îáëàñòè îïðå-
äåëåíèÿ [a, b].
Äîêàçàòåëüñòâî
Ïðåäïîëîæèì îáðàòíîå, ÷òî ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ ôóíêöèÿ Pn (x),
êîòîðàÿ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (8), íî ñ λn îòëè÷íûì

                                           16

Страницы