Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

N
2
m
=
1
K
m
Z
b
a
dx Y
m
(x)
d
m
dx
m
[W (x)X
m
(x)] .
m
m
N
2
m
= (−1)
m
1
K
m
Z
b
a
dx W (x)X
m
(x)
d
m
dx
m
Y
m
(x) .
m
m m!p
(m,m)
N
2
m
= (−1)
m
p
(m,m)
m!
K
m
Z
b
a
dx W (x)X
m
(x) .
W (x) X(x)
f(z)
d
n
dz
n
f(z) =
n!
2πi
Z
C
f(ξ)
(ξ − z)
n+1
dξ .
f(ξ)
f(ξ) = W (ξ)X
n
(ξ)
Y
n
(z)
Y
n
(x) 0x
Z
Y
n
(z) =
n!
2πi K
n
W (z)
Z
C
W (ξ)X
n
(ξ)
(ξ − z)
n+1
dξ .
1.4. Âû÷èñëåíèå íîðìèðîâî÷íûõ ìíîæèòåëåé äëÿ
           îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ðîäðèãà (20), ìîæíî ñâåñòè íîðìèðîâî÷íûå èí-
òåãðàëû (4) ê ñëåäóþùåìó âèäó:
             2    1 Zb           dm
            Nm =       dx Ym (x) m [W (x)X m (x)] .       (37)
                 Km a           dx
Åñëè ýòî âûðàæåíèå ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî ÷àñòÿì m ðàç, èñïîëüçî-
âàâ ñîîòíîøåíèÿ (9), òî ïîëó÷èì èíòåãðàë, ñîäåðæàùèé ïðîèçâîä-
íóþ ïîðÿäêà m îò ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîëèíîìà:
           2          1 Zb
                       m             m     dm
          Nm = (−1)         dx W (x)X (x)     Ym (x) .    (38)
                     Km a                 dxm
Âñïîìèíàÿ, ÷òî m- êðàòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå îðòîãîíàëüíîãî ïî-
ëèíîìà ñòåïåíè m äàåò êîíñòàíòó m!p(m,m) , ïîëó÷èì, íàêîíåö, ÷òî
             2             m  m! Z b
            Nm  = (−1) p(m,m)        dx W (x)X m (x) .    (39)
                              Km a
Îñòàâøèéñÿ èíòåãðàë áóäåò âû÷èñëåí ïîçäíåå äëÿ êîíêðåòíûõ çíà-
÷åíèé âåñîâîé ôóíêöèè W (x) è ìíîãî÷ëåíà X(x).

1.5. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå îðòîãîíàëüíûõ
                  ïîëèíîìîâ
Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ñëåäóåò èç
ôîðìóëû Êîøè äëÿ ïðîèçâîäíîé îò àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè f (z):
                    dn            n! Z    f (ξ)
                         f (z) =                  dξ .       (40)
                    dz n         2πi C (ξ − z)n+1
Îñíîâûâàÿñü íà ôîðìóëå Ðîäðèãà (20) è ïîëàãàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ f (ξ)
èìååò âèä f (ξ) = W (ξ)X n (ξ), ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå èíòå-
ãðàëüíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ Yn (z), àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ ôóíê-
öèè Yn (x), îñóùåñòâëåííîãî ñ äåéñòâèòåëüíîé îñè 0x íà êîìïëåêñ-
íóþ ïëîñêîñòü Z :
                               n!     Z W (ξ)X n (ξ)
               Yn (z) =                              dξ .    (41)
                          2πi Kn W (z) C (ξ − z)n+1
                                    18

Страницы