Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C z
W (z) X(z)
Y
n+1
(x) Y
n
(x) Y
n−1
(x)
Y
n+1
(x) = (A
n
x + B
n
) Y
n
(x) − C
n
Y
n−1
(x) ,
A
n
B
n
C
n
A
n
≡
p
(n+1,n+1)
p
(n,n)
, B
n
≡ A
n
p
(n+1,n)
p
(n+1,n+1)
−
p
(n,n−1)
p
(n,n)
,
C
n
≡
p
(n+1,n+1)
p
(n−1,n−1)
p
2
(n,n)
N
2
n
N
2
n−1
.
xY
n
(x)
n + 1
xY
n
(x) =
n+1
X
k=0
c
(n,k)
Y
k
(x) ,
c
(n,k)
=
1
N
2
k
Z
b
a
dx x W (x)Y
n
Y
k
(x) .
Êîíôèãóðàöèÿ çàìêíóòîãî êîíòóðà C , îáõîäÿùåãî òî÷êó z , ñóùå-
ñòâåííî çàâèñèò îò ñâîéñòâ çàäàííûõ ôóíêöèé W (z) è X(z) è áóäåò
îáñóæäàòüñÿ â êîíêðåòíîì êîíòåêñòå äëÿ êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëü-
íûõ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà, Ëàãåððà è ßêîáè.


 1.6. Ïðåäñòàâëåíèå îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ñ
      ïîìîùüþ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé
ÒÅÎÐÅÌÀ 5
Ëþáàÿ òðîéêà ïîñëåäîâàòåëüíûõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ:
Yn+1 (x), Yn (x) è Yn−1 (x), - ñâÿçàíà ëèíåéíûì ðåêóððåíòíûì ñîîò-
íîøåíèåì

            Yn+1 (x) = (An x + Bn ) Yn (x) − Cn Yn−1 (x) ,            (42)

ãäå êîýôôèöèåíòû An , Bn , Cn îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë:
                                                              
             p(n+1,n+1)                    p(n+1,n)    p(n,n−1) 
        An ≡            ,      B n ≡ An             −            ,
               p(n,n)                     p(n+1,n+1)    p(n,n)

                        p(n+1,n+1) p(n−1,n−1) Nn2
                   Cn ≡                            .                  (43)
                               p2(n,n)         2
                                              Nn−1

Äîêàçàòåëüñòâî
Ïðîèçâåäåíèå xYn (x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêèé ïîëèíîì ñòåïåíè
n + 1, à ïîòîìó ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé
îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ
                                      n+1
                                      X
                          xYn (x) =         c(n,k) Yk (x) ,           (44)
                                      k=0

ñ êîýôôèöèåíòàìè âèäà
                            1 Zb
                 c(n,k)   = 2    dx x W (x)Yn Yk (x) .                (45)
                           Nk a

                                       19

Страницы