Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

k = n−2 k = n−3
xY
n−2
n−1
Y
n
xY
n
(x) = c
(n,n+1)
Y
n+1
(x) + c
(n,n)
Y
n
(x) + c
(n,n−1)
Y
n−1
(x) .
c
(n,n+1)
x
n+1
c
(n,n+1)
=
p
(n,n)
p
(n+1,n+1)
.
c
(n,n−1)
c
(n,n−1)
=
N
2
n
N
2
n−1
c
(n−1,n)
=
N
2
n
N
2
n−1
p
(n−1,n−1)
p
(n,n)
.
c
(n,n)
x
n
c
(n,n)
=
p
(n,n−1)
p
(n,n)
−
p
(n+1,n)
p
(n+1,n+1)
.
X(x) W (x)
p
(m,k)
A
n
B
n
C
n
Åñëè â èíòåãðàëå (45) ïîäñòàâèòü k = n−2, k = n−3 è òàê äàëåå, òî
èíòåãðàë îêàæåòñÿ ðàâíûì íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ïðîèç-
âåäåíèå xYn−2 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå âûøå, ÷åì n−1, òî êàæäûé èç
íèõ îêàæåòñÿ îðòîãîíàëüíûì Yn , ñòîÿùåìó â ïîäûíòåãðàëüíîì âû-
ðàæåíèè. Òàêèì îáðàçîì ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå ñâÿçûâàåò òðè
è òîëüêî òðè îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìà:

    xYn (x) = c(n,n+1) Yn+1 (x) + c(n,n) Yn (x) + c(n,n−1) Yn−1 (x) .   (46)

Âåëè÷èíó c(n,n+1) ëåãêî íàéòè, åñëè â ñîîòíîøåíèè (46) ïðèðàâíÿòü
êîýôôèöèåíòû ïðè xn+1 :
                                           p(n,n)
                           c(n,n+1) =                .                  (47)
                                        p(n+1,n+1)
Êîýôôèöèåíò c(n,n−1) ëåãêî ïîëó÷èòü èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè.
Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (45) è (47)
                           Nn2          Nn2 p(n−1,n−1)
              c(n,n−1)   = 2 c(n−1,n) = 2              .                (48)
                          Nn−1         Nn−1 p(n,n)
Ïîñëåäíþþ èç èñêîìûõ âåëè÷èí, c(n,n) , ëåãêî íàéòè, åñëè ïðèðàâ-
íÿòü êîýôôèöèåíòû ïðè xn â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ óðàâíåíèÿ (46):
                                 p(n,n−1)    p(n+1,n)
                      c(n,n) =            −            .                (49)
                                  p(n,n)    p(n+1,n+1)
Ïîäñòàâèâ íàéäåííûå êîýôôèöèåíòû â ðàâåíñòâî (46) è ñîâåðøèâ
î÷åâèäíîå àëãåáðàè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïîëó÷èì èñêîìîå ñîîò-
íîøåíèå (42). Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøå-
íèÿ ïðèìóò îêîí÷àòåëüíûé âèä òîëüêî òîãäà, êîãäà ïî êîíêðåòíûì
X(x) è W (x) ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ðîäðèãà óäàñòñÿ âîññòàíîâèòü
êîýôôèöèåíòû p(m,k) , à âìåñòå ñ íèìè è êîýôôèöèåíòû An ,Bn ,Cn .
Ýòè äàííûå áóäóò ïðèâåäåíû âî âòîðîé ÷àñòè ïîñîáèÿ, êîãäà ðå÷ü
ïîéäåò î êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìàõ Ýðìèòà, Ëàãåððà,
ßêîáè.

                                      20

Страницы