Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

• Y
0
Y
1
(x)
• Y
0
Y
1
(x) n = 1
Y
2
(x) = (A
1
x + B
1
)Y
1
− C
1
Y
0
•
Y
3
(x) Y
4
(x) Y
k
(x)
p
−1
(x) ≡ 0
n = 0 Y
1
Y
0
Y
0
  Ôîðìóëà (42) äàåò ñëåäóþùèé ðåöåïò äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ îðòîãî-
íàëüíûõ ïîëèíîìîâ ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé:

  • çàôèêñèðóåì Y0 è Y1 (x) êàê ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (8),
    ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ïîëèíîìû íóëåâîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêà,
    ñîîòâåòñòâåííî;

  • ñ ïîìîùüþ Y0 è Y1 (x) ïî ôîðìóëå (42) ïðè n = 1 íàéäåì
    Y2 (x) = (A1 x + B1 )Y1 − C1 Y0 ;

  • ïîâòîðèâ óêàçàííóþ ïðîöåäóðó, íàéäåì ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëè-
    íîìû Y3 (x), Y4 (x), ... Yk (x).

Äðóãèìè ñëîâàìè, ëþáîé îðòîãîíàëüíûé ïîëèíîì âîññòàíàâëèâàåò-
ñÿ ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ ïî äâóì ïåðâûì ôèêñè-
ðîâàííûì ïîëèíîìàì çà êîíå÷íîå ÷èñëî àëãåáðàè÷åñêèõ îïåðàöèé.

Çàìå÷àíèå
Åñëè ôîðìàëüíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ïîëèíîì p−1 (x) ≡ 0, òî èç
ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ ïðè n = 0 ìîæíî âûðàçèòü ïîëèíîì Y1
÷åðåç Y0 , òàêèì îáðàçîì, òîëüêî êîíñòàíòà Y0 îñòàåòñÿ ïðîèçâîëüíîé
âåëè÷èíîé ïðè ïðåäñòàâëåíèè îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ñ ïîìîùüþ
ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé. Ýòà êîíñòàíòà ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ïðîèç-
âîëüíîé â ñèëó ìàñøòàáíîé èíâàðèàíòíîñòè óðàâíåíèÿ (6).




                                       21

Страницы