Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Y
0
n
(x)
Y
n
(x) Y
n−1
(x)
X(x) Y
0
n
(x) =
nX
0
(0) +
1
2
X
00
nx −
p
(n,n−1)
p
(n,n)
Y
n
(x) + β
n
Y
n−1
(x) ,
β
n
β
n
A
n
= −C
n
"
p
(1,1)
K
1
+
Ã
n −
1
2
!
X
00
#
,
A
n
C
n
X(x)Y
0
n
(x) −
n
2
xX
00
(x)Y
n
(x)
n
W(x, t) x t
Y
n
(x)
W(x, t)
t
W(x, t) =
∞
X
n=0
Y
n
(x) t
n
.
       1.7. Ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ äëÿ
             îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ

ÒÅÎÐÅÌÀ 6
                                                0
Ïðîèçâîäíàÿ îðòîãîíàëüíîãî ïîëèíîìà Yn (x) ìîæåò áûòü ïðåä-
ñòàâëåíà êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ïîëèíîìîâ Yn (x) è Yn−1 (x):
                                                  
        0         0    1 00     p(n,n−1) 
X(x) Yn (x) = nX (0) + X nx −             Yn (x) + βn Yn−1 (x) ,
                       2         p(n,n)
                                                              (50)
ãäå êîýôôèöèåíòû βn îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè
                         "           Ã      !     #
                                          1    00
              βn An = −Cn p(1,1) K1 + n −     X ,             (51)
                                          2
à êîýôôèöèåíòû An è Cn - ôîðìóëàìè (43).

Äîêàçàòåëüñòâî
                  0          00
Âûðàæåíèå X(x)Yn (x) − n2 xX (x)Yn (x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêèé
ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå ÷åì n [1]. Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ ÷ðåç-
âû÷àéíî ïîõîæè íà òå, ÷òî ïðèâåäåíû â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå,
ïîñâÿùåííîì ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèÿì, è ïîòîìó ìîãóò áûòü
ïðîäåëàíû ÷èòàòåëåì ñàìîñòîÿòåëüíî.


 1.8. Ïðåäñòàâëåíèå îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ
êàê êîýôôèöèåíòîâ â ðàçëîæåíèè ïðîèçâîäÿùèõ
                   ôóíêöèé
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7
Ôóíêöèÿ W(x, t) äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x è t íàçûâàåòñÿ
ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé äëÿ ïîëèíîìîâ Yn (x), åñëè óêàçàííûå ïî-
ëèíîìû ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè W(x, t)
â ðÿä ïî ñòåïåíÿì t
                                  ∞
                                  X
                      W(x, t) =         Yn (x) tn .           (52)
                                  n=0

                                  22

Страницы