Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X(x)
X(x)
W (x)
X(x)
X(x)
X(x) ≡ 1
x
γ =
q
|X|
W (x)
W
0
(x)
W (x)
= −λ
1
x +
p
(1,0)
p
(1,1)
.
x
∗
= x +
p
(1,0)
p
(1,1)
W
0
(x
∗
)
W (x
∗
)
= −λ
1
x
∗
.
x
W (x) = exp
(
−
λ
1
2
x
2
)
.
                ×ÀÑÒÜ II.
       ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ
               ÏÎËÈÍÎÌÛ
 2.1. Êëàññèôèêàöèÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ X(x) â óðàâíåíèè (6) îêàçàëàñü ïîëèíîìîì ñòå-
ïåíè íå âûøå âòîðîé, òî åñòåñòâåííûì îáðàçîì âûäåëÿþòñÿ òðè
êëàññà îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, äëÿ êîòîðûõ ñòåïåíü ïîëèíîìà
X(x) ðàâíà íóëþ, åäèíèöå è äâóì, ñîîòâåòñòâåííî. Ïîêàæåì, êàê
íàõîäÿòñÿ âåñîâûå ôóíêöèè W (x) äëÿ êàæäîãî èç òðåõ ïåðå÷èñëåí-
íûõ êëàññîâ.

2.1.1. X(x) - ïîëèíîì íóëåâîé ñòåïåíè
Ôóíêöèÿ X(x) åñòü êîíñòàíòà, êîòîðóþ áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìîæ-
íî ñ÷èòàòü åäèíèöåé X(x) ≡ 1 (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ýòîãî ëåãêî
äîáèòüñÿ ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ïåðåìåííîé x ñ ìàñøòàáíûì
               q
ôàêòîðîì γ =    |X|). Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (16) íàéäåì, ÷òî óðàâíå-
íèå Ïèðñîíà (19), çàäàþùåå ôóíêöèþ W (x), â äàííîì ñëó÷àå èìååò
âèä:                                             
                     0
                   W (x)            p(1,0) 
                         = −λ1 x +          .             (55)
                   W (x)            p(1,1)
Óðàâíåíèå (55) ïðåîáðàçîâàíèåì ñäâèãà
                                p(1,0)
                          x∗ = x +                         (56)
                                p(1,1)
ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè
                           0
                         W (x∗ )
                             ∗
                                 = −λ1 x∗ .                (57)
                         W (x )
 äàëüíåéøåì ìû íå ñòàíåì ïèñàòü çâåçäî÷êó ïðè íåçàâèñèìîé ïå-
ðåìåííîé x, à ðåçóëüòàò èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâèì â
âèäå                              (           )
                                 λ1
                    W (x) = exp − x2 .                     (58)
                                 2
                                24

Страницы