Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

L
(α)
n
(x)
α
X(x)
x
X(x)
X(x) = Ax
2
+ 2Bx + C → X(x) = A(x
2
+ d).
W (x)
W
0
(x)
W (x)
=
−(λ
1
+ 2A)x + K
1
p
(1,0)
A(x
2
+ d)
.
X(x)
d = ν
2
W (x) = const · (x
2
+ ν
2
)
−ρ
exp
(
µ
ν
arctan
x
ν
)
,
ρ ≡ 1 +
λ
1
2A
, µ ≡
K
1
p
(1,0)
A
.
ρ > 0 a=−∞
b=∞
òåì æå ñîîòíîøåíèåì (59). Îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû äàííîãî êëàñ-
ñà îáîçíà÷àþòñÿ ñèìâîëîì L(α)
                          n (x). Êîðåííàÿ áóêâà ñîîòâåòñòâóåò
ïåðâîé áóêâå ôàìèëèè ôðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà Ëàãåððà (Laguerre
Å.). Äëÿ êàæäîãî äîïóñòèìîãî çíà÷åíèÿ α èìååòñÿ ñâîÿ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü ïîëèíîìîâ Ëàãåððà. Â ýòîì ñìûñëå ïîëèíîìû Ëàãåððà ñî-
ñòàâëÿþò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îð-
òîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ.

2.1.3. X(x) - ïîëèíîì âòîðîé ñòåïåíè
Ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé ñäâèãà äëÿ ïåðåìåííîé x êâàäðàòíûé
òðåõ÷ëåí X(x) ìîæíî ñâåñòè ê âèäó:

          X(x) = Ax2 + 2Bx + C → X(x) = A(x2 + d).            (63)

Óðàâíåíèå Ïèðñîíà (19) äëÿ W (x) ïðåâðàòèòñÿ â ñëåäóþùåå óðàâ-
íåíèå:             0
               W (x) −(λ1 + 2A)x + K1 p(1,0)
                      =                      .         (64)
                W (x)        A(x2 + d)
 çàâèñèìîñòè îò âûáîðà êîýôôèöèåíòîâ êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ
X(x) ìîæåò âîâñå íå èìåòü äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé, ìîæåò èìåòü
ñîâïàäàþùèå äåéñòâèòåëüíûå êîðíè, ëèáî èìåòü äâà ðàçëè÷íûõ äåé-
ñòâèòåëüíûõ êîðíÿ.
   ïåðâîì ñëó÷àå d = ν 2 , ñëåäîâàòåëüíî,
                                           (         )
                            2    2 −ρ       µ        x
           W (x) = const · (x + ν )     exp   arctan   ,      (65)
                                            ν        ν
ãäå
                            λ1       K1 p(1,0)
                   ρ≡1+        , µ≡            .              (66)
                           2A            A
 ýòîì ñëó÷àå òðåáîâàíèå (9) âûïîëíèòñÿ, òîëüêî åñëè ρ > 0, a=−∞
è b=∞, íî ïðè ýòîì ìîìåíòû (10) íå ñóùåñòâóþò. Òàêèì îáðàçîì,
ïåðâûé ñëó÷àé ñëåäóåò îòâåðãíóòü.



                                26

Страницы