Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

d=0
W (x) = const · x
−2ρ
exp
(
−
µ
x
)
.
d = −ν
2
x X(x)
X(x) = −A(1 − x
2
)
λ
n
X(x)
X(x)
X(x) = (1 − x
2
) .
W
0
W
=
−α
1 − x
+
β
1 + x
,
α ≡
1
2
(λ
1
− 2 − K
1
p
(1,0)
) , β ≡
1
2
(λ
1
− 2 + K
1
p
(1,0)
) .
W (x) = (1 − x)
α
(1 + x)
β
, W (0) = 1 .
[−1, 1]
α > −1 , β > −1
α, β W (x)X(x)
P
(α,β)
n
(x)
α
β
  Âî âòîðîì ñëó÷àå ñëåäóåò ïîëîæèòü d=0, ÷òî ïðèâîäèò ê ðåøå-
íèþ                                          (     )
                                       −2ρ µ
                 W (x) = const · x exp − .                  (67)
                                           x
Ïðè òàêèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ, êàê è â ïåðâîì ñëó÷àå, òðåáîâàíèÿ (9)
è (10) ïðîòèâîðå÷èâû.
  Îñòàåòñÿ èññëåäîâàòü ïîñëåäíèé âàðèàíò d = −ν 2 . Â òàêîì ñëó-
÷àå ìàñøòàáíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííîé x ïîçâîëÿåò ñâåñòè X(x)
ê ôóíêöèè X(x) = −A(1 − x2 ), à çà ñ÷åò äîïîëíèòåëüíîãî îäíî-
âðåìåííîãî ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ λn è X(x) îêîí÷àòåëüíî
âûáåðåì X(x) â âèäå

                          X(x) = (1 − x2 ) .                    (68)

Óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåñîâîé ôóíêöèè ïðèìåò âèä
                          0
                        W    −α   β
                          =     +   ,                           (69)
                        W   1−x 1+x
ãäå
           1                         1
      α ≡ (λ1 − 2 − K1 p(1,0) ) , β ≡ (λ1 − 2 + K1 p(1,0) ) .   (70)
           2                         2
Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (69) ÿâëÿåòñÿ âåñîâàÿ ôóíêöèÿ,

               W (x) = (1 − x)α (1 + x)β ,     W (0) = 1 .      (71)

Îíà îïðåäåëåíà è íåîòðèöàòåëüíà âíóòðè èíòåðâàëà [−1, 1], åå ìî-
ìåíòû ñóùåñòâóþò, åñëè α > −1 , β > −1, ïðè÷åì ïðè äàííîì âû-
áîðå ïàðàìåòðîâ α, β ïðîèçâåäåíèå W (x)X(x) îáðàùàåòñÿ â íóëü
íà ãðàíèöàõ èíòåðâàëà. Îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû òðåòüåãî êëàññà
íàçûâàþòñÿ ïîëèíîìàìè ßêîáè (Jacobi C.G.J.) è îáîçíà÷àþòñÿ ñèì-
âîëîì Pn(α,β) (x). Ïîëèíîìû ßêîáè ñîñòàâëÿþò äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå
ñåìåéñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ. Ñðåäè
ïîëèíîìîâ ßêîáè â ñèëó èñòîðè÷åñêèõ ïðè÷èí ïðèíÿòî âûäåëÿòü
ïîëèíîìû Ãåãåíáàóýðà, Ëåæàíäðà è ×åáûøåâà; äëÿ âñåõ èç íèõ α è
β ñîâïàäàþò.

                                  27

Страницы