Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a = −∞, b = ∞, X(x) = 1 , W (x) = e
−x
2
, K
n
= (−1)
n
, λ
n
= 2n .
H
00
n
(x) − 2x H
0
n
(x) + 2n H
n
(x) = 0 .
Z(x) ≡ e
−
1
2
x
2
H
n
(x)
Z
00
(x) + (2n + 1 − x
2
)Z(x) = 0 ,
H
n
(x) = (−1)
n
e
x
2
d
n
dx
n
e
−x
2
.
H
0
(x) = 1 , H
1
(x) = 2x , H
2
(x) = 4x
2
− 2 .
n
H
n
(x) = n!
[
n
2
]
X
m=0
(−1)
m
(2x)
n−2m
m!(n − 2m)!
,
         2.2. Ïîëèíîìû Ýðìèòà (Hermite C.)
2.2.1. Còàíäàðòèçàöèÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà
Ïðè ñòàíäàðòèçàöèè ïîëèíîìîâ Ýðìèòà óäîáíî ñëåäîâàòü ïðàâèëàì,
ïðèíÿòûì â êíèãàõ [1,3]:
                                                          2
  a = −∞ , b = ∞ , X(x) = 1 , W (x) = e−x , Kn = (−1)n , λn = 2n .
                                                               (72)
Ñîãëàñíî (8) è (72) ïîëèíîìû Ýðìèòà óäîâëåòâîðÿþò äèôôåðåíöè-
àëüíîìó óðàâíåíèþ
                    00                  0
                Hn (x) − 2x Hn (x) + 2n Hn (x) = 0 .                         (73)

 ñèëó óðàâíåíèÿ (73) ôóíêöèÿ
                                              1 2
                                 Z(x) ≡ e− 2 x Hn (x)                        (74)

óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ Âåáåðà - Ýðìèòà
(Weber - Hermite)
                         00
                    Z (x) + (2n + 1 − x2 )Z(x) = 0 ,                         (75)

à ïîòîìó îòíîñèòñÿ ê òàê íàçûâàåìûì ôóíêöèÿì ïàðàáîëè÷åñêîãî
öèëèíäðà [1].

2.2.2. Ôîðìóëà Ðîäðèãà
Èç ôîðìóëû Ðîäðèãà (20) ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ïîëè-
íîìîâ Ýðìèòà:
                                    dn −x2          2
                              Hn (x) = (−1)n ex
                                       e .               (76)
                                   dxn
Ñîãëàñíî ýòîé ôîðìóëå ïåðâûå òðè ïîëèíîìà Ýðìèòà èìåþò âèä:

           H0 (x) = 1 ,           H1 (x) = 2x ,         H2 (x) = 4x2 − 2 .   (77)

Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íîìåðà n ïðÿìîå äèôôåðåíöèðîâàíèå â (76) äàåò
ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ýðìèòà:
                                     [X
                                      2]
                                      n
                                                     (2x)n−2m
                Hn (x) = n!                 (−1)m               ,            (78)
                                     m=0            m!(n − 2m)!
                                             28

Страницы