Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

p
(n,n)
= 2
n
p
(n,n−1)
= 0
N
n
A
n
B
n
C
n
A
n
= 2 , B
n
= 0 , C
n
= 2n .
H
n+1
(x) = 2x H
n
(x) − 2nH
n−1
(x) .
X(x) ≡ 1
H
0
n
(x) = 2n H
n−1
(x) .
W(x, t) =
∞
X
n=0
H
n
(x)
t
n
n!
.
W(x, t)
W(x, t) =
1
2πi
Z
C
dζ
ζ
e
2xζ−ζ
2
∞
X
n=0
"
t
ζ
#
n
=
1
2πi
Z
C
dζ
(ζ − t)
e
2xζ−ζ
2
.
ζ = t
W(x, t) = e
2xt−t
2
.
Ïîñêîëüêó äëÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà p(n,n) = 2n , p(n,n−1) = 0, à íîðìà
Nn ïðåäñòàâëåíà ôîðìóëîé (80), êîýôôèöèåíòû An , Bn è Cn ëåãêî
ïîëó÷àþòñÿ èç ôîðìóë (43)

                  An = 2 ,   Bn = 0 ,       Cn = 2n .              (83)

Ñëåäîâàòåëüíî, ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ (42) äëÿ ïîëèíîìîâ Ýð-
ìèòà ïðèíèìàþò âèä

                Hn+1 (x) = 2x Hn (x) − 2nHn−1 (x) .                (84)


2.2.6. Ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà
Òàê êàê äëÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà X(x) ≡ 1, èç ôîðìóë (50), (51)
ìãíîâåííî ïîëó÷àåì
                         0
                       Hn (x) = 2n Hn−1 (x) .                      (85)


2.2.7. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà
Äëÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì ïðåä-
ñòàâëåíèåì ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè
                                 ∞
                                 X        tn
                      W(x, t) =     Hn (x) .                       (86)
                                n=0       n!
Òîãäà, ñëåäóÿ ðåöåïòó ïîñòðîåíèÿ W(x, t), îïèñàííîìó â ïóíêòå 1.8.,
è èñïîëüçóÿ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ýðìèòà (82),
ïðèäåì ê ñîîòíîøåíèþ
                                " #n
             1 Z dζ 2xζ−ζ 2 X∞ t             1 Z    dζ          2
  W(x, t) =         e                   =                 e2xζ−ζ . (87)
            2πi C ζ         n=0 ζ           2πi C (ζ − t)
Âû÷èñëÿÿ ïîñëåäíèé èíòåãðàë ñ ïîìîùüþ âû÷åòà â ïîëþñå ζ = t,
ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíî
                                            2
                         W(x, t) = e2xt−t .                        (88)

                                 30

Страницы