Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

h
n
2
i
n
2
n
n−1
2
n
x
H
n
(−x) = (−1)
n
H
n
(x) .
p
(n,m)
m = 0 p
(n,n)
= 2
n
p
(n,n−1)
n
N
2
n
≡ n!2
n
Z
∞
−∞
dx e
−x
2
= n!2
n
√
π .
H
n
(x) = (−1)
n
H
n
(−x) =
n!
2πi
e
x
2
Z
C
dξ
e
−ξ
2
(ξ + x)
n+1
.
ζ = ξ + x
H
n
(x) =
n!
2πi
Z
C
dζ
ζ
n+1
e
2xζ−ζ
2
,
C ζ = 0
             h i
              n
ãäå ñèìâîë    2    îçíà÷àåò ÷èñëî n2 , åñëè n ÷åòíîå è     n−1
                                                            2 ,   åñëè n íå÷åòíî.
 ñïðàâåäëèâîñòè äàííîé ôîðìóëû ÷èòàòåëü ìîæåò òàêæå óáåäèòü-
ñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
  Ïîëåçíî îòìåòèòü, ÷òî ïîëèíîìû Ýðìèòà ñ ÷åòíûì íîìåðîì ñî-
äåðæàò òîëüêî ÷åòíûå ñòåïåíè x, à ñ íå÷åòíûì íîìåðîì - òîëüêî
íå÷åòíûå. Ýòîò ôàêò ìîæíî çàôèêñèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøå-
íèÿ
                             Hn (−x) = (−1)n Hn (x) .                        (79)

2.2.3. Íîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè
Êîýôôèöèåíòû p(n,m) , íåîáõîäèìûå äëÿ äàëüíåéøèõ ðàñ÷åòîâ, íà-
õîäÿòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç ôîðìóëû (78). Òàê, íàõîäÿ ñëàãàåìîå ñ
m = 0, ïîëó÷èì, ÷òî p(n,n) = 2n . ×òî æå êàñàåòñÿ êîýôôèöèåíòà
p(n,n−1) , òî îí ðàâåí íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, êâàäðàò íîðìû (39) äëÿ
ïîëèíîìà Ýðìèòà ñ íîìåðîì n ðàâåí
                                      Z ∞
                                                  2      √
                     Nn2   ≡ n!2  n
                                            dx e−x = n!2n π .                (80)
                                      −∞


2.2.4. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ýðìèòà
Ñòàíäàðòíîå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (41) ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ ÷åò-
íîñòè (79) äàåò äëÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:
                                                                  2
                              n   n! x2 Z        e−ξ
         Hn (x) = (−1) Hn (−x) =     e     dξ            .                   (81)
                                 2πi     C    (ξ + x)n+1
Ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ ζ = ξ + x ïîëó÷èì ýêâè-
âàëåíòíóþ ôîðìóëó
                                     n! Z dζ 2xζ−ζ 2
                           Hn (x) =             e    ,                       (82)
                                    2πi C ζ n+1
ãäå êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ C îõâàòûâàåò òî÷êó ζ = 0.

2.2.5. Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ
                                            29

Страницы