Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x = 0
W(0, t) = e
−t
2
=
∞
X
n=0
H
n
(0)
t
n
n!
t H
2m+1
(0) = 0
∞
X
m=0
(−1)
m
t
2m
m!
=
∞
X
m=0
H
2m
(0)
t
2m
(2m)!
H
2m
(0) = (−1)
m
(2m)!
m!
.
H
0
n
(0)
H
0
2m
(0) = 0 , H
0
2m+1
(0) = 2(2m + 1)H
2m
(0) = (−1)
m
(2m + 2)!
(m + 1)!
.
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n)!
H
2n
(x) ,
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n + 1)!
H
2n+1
(x) .
t = i
e
2ix+1
=
∞
X
m=0
(−1)
m
(2m)!
H
2m
(x) + i
∞
X
m=0
(−1)
m
(2m + 1)!
H
2m+1
(x) .
Ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîæíî ðåøèòü ðÿä ÷àñòíûõ
çàäà÷, óòî÷íÿþùèõ ñâîéñòâà ïîëèíîìîâ Ýðìèòà. Ìû îñòàíîâèìñÿ
òîëüêî íà äâóõ íàèáîëåå èçâåñòíûõ.

Çàäà÷à 1
Íàéòè çíà÷åíèÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà ïðè x = 0.
Èç ñîîòíîøåíèÿ

                                            −t2
                                                    ∞
                                                    X          tn
                                W(0, t) = e       =     Hn (0)                     (89)
                                                    n=0        n!
ìãíîâåííî ïîëó÷àåì, ÷òî â ðàçëîæåíèè äîëæíû îòñóòñòâîâàòü íå÷åò-
íûå ñòåïåíè t, îòêóäà H2m+1 (0) = 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ðàâåíñòâà
                            ∞
                            X            t2m   X∞           t2m
                                 (−1)m       =     H2m (0)                         (90)
                           m=0           m!    m=0         (2m)!
ñëåäóåò, ÷òî
                                    (2m)!
                                  H2m (0) = (−1)m
                                          .             (91)
                                     m!
             0
Ïðîèçâîäíàÿ Hn (0) íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû äèôôåðåíöèðî-
âàíèÿ (85)

    0                       0                                             (2m + 2)!
  H2m (0) = 0 ,            H2m+1 (0) = 2(2m + 1)H2m (0) = (−1)m                      .
                                                                           (m + 1)!
                                                                                    (92)

Çàäà÷à 2
Ïðîñóììèðîâàòü ðÿäû
                      ∞
                      X  (−1)n                ∞
                                              X     (−1)n
                               H2n (x) ,                    H2n+1 (x) .            (93)
                     n=0 (2n)!                n=0 (2n + 1)!

Ïîëàãàÿ t = i â ðàçëîæåíèè (86) è ðàçáèâàÿ ðÿä íà ñóììû ÷åòíûõ
è íå÷åòíûõ ñòåïåíåé, ïîëó÷èì ñ ó÷åòîì (88)

            2ix+1
                       ∞
                       X  (−1)m             X∞    (−1)m
        e           =           H2m (x) + i               H2m+1 (x) .              (94)
                      m=0 (2m)!             m=0 (2m + 1)!



                                              31

Страницы