Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

∞
X
m=0
(−1)
m
(2m)!
H
2m
(x) = Re{e
2ix+1
} = e cos 2x ,
∞
X
m=0
(−1)
m
(2m + 1)!
H
2m+1
(x) = Im{e
2ix+1
} = e sin 2x .
d
2
dx
2
Ψ(x) +
2m
¯h
2
E −
mω
2
x
2
2
Ψ(x) = 0 ,
Ψ(x) m ¯h
E ω
Ψ(x) = e
−
1
2
ξ
2
χ(ξ) , ξ = x
s
mω
¯h
,
χ(ξ)
χ
00
(ξ) − 2ξχ
0
(ξ) +
Ã
2E
¯hω
− 1
!
χ = 0 .
Ã
2E
¯hω
− 1
!
= 2n ,
E
E = ¯hω
Ã
n +
1
2
!
,
Ñëåäîâàòåëüíî,
              ∞
              X (−1)m
                      H2m (x) = Re{e2ix+1 } = e cos 2x ,
            m=0 (2m)!
          ∞
          X     (−1)m
                        H2m+1 (x) = Im{e2ix+1 } = e sin 2x .            (95)
          m=0 (2m + 1)!

2.2.8. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ
 êâàíòîâîé ìåõàíèêå äëÿ îïèñàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé îäíî-
ìåðíîãî ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà èñïîëüçóåòñÿ óðàâíåíèå Øðåäèíãå-
ðà âèäà                                               
               d2       2m    mω 2 x2 
                  Ψ(x) + 2 E −           Ψ(x) = 0 ,                     (96)
              dx2       h̄       2
ãäå Ψ(x) - âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, m - ìacca ÷àñòèöû, h̄ - ïîñòîÿííàÿ
Ïëàíêà, E - ýíåðãèÿ, ω - ÷àñòîòà [13]. Ñîâåðøèâ çàìåíó ôóíêöèè è
íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ïî ïðàâèëàì
                                                           s
                             − 12 ξ 2                          mω
                  Ψ(x) = e              χ(ξ) ,     ξ=x             ,    (97)
                                                                h̄
ïîëó÷èì, ÷òî íîâàÿ ôóíêöèÿ χ(ξ) îáÿçàíà óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ
                                               Ã       !
                   00           0   2E
                  χ (ξ) − 2ξχ (ξ) +     − 1 χ = 0.                      (98)
                                    h̄ω
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå â ñèëó ÒÅÎÐÅÌÛ 4 äîïóñêàåò íåòðèâèàëüíûå
ðåøåíèÿ, îãðàíè÷åííûå äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà,
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
                          Ã                 !
                              2E
                                  − 1 = 2n ,                            (99)
                              h̄ω
è â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (98) åñòü â òî÷íîñòè óðàâíåíèå Ýðìèòà.
Òàêèì îáðàçîì, ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, ÷òî ýíåðãèÿ E ìîæåò ïðè-
íèìàòü òîëüêî äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ
                                           Ã       !
                                     1
                         E = h̄ω n +   ,                               (100)
                                     2
                                          32

Страницы