Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X(x) W (x)
x L
(α)
00
n
(x) + (α + 1 − x) L
(α)
0
n
(x) + n L
(α)
n
(x) = 0 .
L
(α)
n
(x) =
1
n!
x
−α
e
x
d
n
dx
n
h
x
n+α
e
−x
i
.
n
(UV )
(n)
=
n
X
m=0
C
m
n
U
(m)
V
(n−m)
,
C
m
γ
≡
γ(γ − 1)...(γ − m + 1)
m!
,
γ n
x
α
L
(α)
n
(x) =
1
n!
n
X
m=0
C
m
n
(−1)
m
x
m
(α+n)(α+n−1)...(α+n−m+1) ,
L
(α)
n
(x) =
n
X
m=0
C
n−m
α+n
(−1)
m
x
m
m!
.
L
(α)
0
(x) = 1 , L
(α)
1
(x) = α + 1 − x ,
L
(α)
2
(x) =
1
2
[x
2
− 2x(2 + α) + (2 + α)(1 + α)] .
Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèè X(x) è W (x) èç (105) â (8), ïîëó÷èì, ÷òî ïî-
ëèíîìû Ëàãåððà óäîâëåòâîðÿþò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ
             00                              0
      x L(α)                  (α)        (α)
         n (x) + (α + 1 − x) Ln (x) + n Ln (x) = 0 .           (106)

2.3.2. Ôîðìóëà Ðîäðèãà
Äåéñòâóÿ, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, èç ôîðìóëû Ðîäðèãà (20)
ïîëó÷èì èçâåñòíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ëàãåððà:
                             1 −α x dn h n+α −x i
                  L(α)
                   n (x)    = x e       x e       .            (107)
                             n!    dxn
 ôîðìóëå (107) íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ïðÿìîå n êðàòíîå äèôôå-
ðåíöèðîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ ýêñïîíåíòû è ñòåïåííîé ôóíêöèè. Âîñ-
ïîëüçóåìñÿ äëÿ ýòîé öåëè ôîðìóëîé Ëåéáíèöà
                                  n
                                  X
                    (U V )(n) =         Cnm U (m) V (n−m) ,    (108)
                                  m=0

ãäå èñïîëüçîâàíî ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèå
                            γ(γ − 1)...(γ − m + 1)
                    Cγm ≡                          ,           (109)
                                      m!
âçÿòîå äëÿ γ , ðàâíîãî íàòóðàëüíîìó ÷èñëó n. Ïðèìåíèâ óêàçàííîå
ïðàâèëî è ñîêðàòèâ íà ýêñïîíåíòó è íà xα , ïîëó÷èì ñóììó
            1 X n
 L(α)
  n (x)   =        Cnm (−1)m xm (α+n)(α+n−1)...(α+n−m+1) , (110)
            n! m=0
êîòîðàÿ ñ ó÷åòîì (109) òðàíñôîðìèðóåòñÿ ê âèäó
                                  n                    m
                                  X                x
                    L(α)
                     n (x)   =           n−m
                                        Cα+n (−1)m         .   (111)
                                  m=0                m!
Ýòî è åñòü ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ëàãåððà.
Ïåðâûå òðè ïîëèíîìà ýòîãî òèïà âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                   (α)                (α)
                  L0 (x) = 1 ,     L1 (x) = α + 1 − x ,
             (α)    1
            L2 (x) = [x2 − 2x(2 + α) + (2 + α)(1 + α)] .       (112)
                    2
                                        34

Страницы