Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x = 0
L
(α)
n
(0) = C
n
α+n
.
p
(n,n)
p
(n,n−1)
p
(n,n)
=
(−1)
n
n!
, p
(n,n−1)
=
(−1)
n−1
(α + n)
(n − 1)!
.
n
N
2
n
(α) ≡
1
n!
Z
∞
0
dx e
−x
x
α+n
=
1
n!
Γ(α + n + 1) ,
Γ(σ)
L
(α)
n
(x) =
1
2πi
x
−α
e
x
Z
C
dξ e
−ξ
ξ
n+α
(ξ − x)
n+1
.
C ξ = x
ξ = 0
Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (111) ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî óñòàíîâèòü, êà-
êîâî çíà÷åíèå ïîëèíîìà Ëàãåððà ïðè x = 0:

                               L(α)      n
                                n (0) = Cα+n .                      (113)

2.3.3. Íîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè
Ôîðìóëà (111) ïîçâîëÿåò íåïîñðåäñòâåííî ïîäñ÷èòàòü êîýôôèöèåí-
òû p(n,n) è p(n,n−1) :

                         (−1)n                  (−1)n−1 (α + n)
              p(n,n)   =       ,   p(n,n−1)   =                 .   (114)
                           n!                      (n − 1)!
Ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàò íîðìû ïîëèíîìà Ëàãåððà ñ íîìåðîì n ðà-
âåí
                    1 Z∞              1
             Nn2 (α) ≡   dx e−x xα+n = Γ(α + n + 1) ,               (115)
                   n! 0               n!
ãäå Γ(σ) - ãàììà ôóíêöèÿ [2].

2.3.4. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ëàãåððà
Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (41), ôîðìàëüíî ïðèìåíåííîå ê ïîëè-
íîìàì Ëàãåððà, íåïîñðåäñòâåííî ïðèâîäèò ê ðåçóëüòàòó:
                             1 −α x Z             ξ n+α
                L(α)
                 n (x)    =     x e    dξ e −ξ
                                                          .         (116)
                            2πi      C         (ξ − x)n+1
Êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ C îõâàòûâàåò òî÷êó ξ = x, íî íå ñîäåðæèò
òî÷êè ξ = 0.




                                       35

Страницы