Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

W(x, t)
W(x, t) =
∞
X
n=0
L
(α)
n
(x)t
n
=
∞
X
n=0
t
n
1
2πi
x
−α
e
x
Z
C
dξ e
−ξ
ξ
n+α
(ξ − x)
n+1
=
=
1
2πi
x
−α
e
x
Z
C
dξ e
−ξ
ξ
α
(ξ − x)
∞
X
n=0
"
ξt
ξ − x
#
n
=
=
1
2πi
x
−α
e
x
Z
C
dξ e
−ξ
ξ
α
(1 − t)
³
ξ −
x
1−t
´
.
ξ =
x
1−t
W(x, t) = (1 − t)
−1−α
e
−
xt
1−t
.
|t| < 1
F (x) =
∞
X
n=0
(−1)
n
q
2n
L
(0)
2n
(x) ,
q |q| < 1
F (x) = Re
∞
X
n=0
(iq)
n
L
(0)
n
(x)
.
t = iq F (x)
F (x) = Re
½
(1 − iq)
−1
e
−
ixq
1−iq
¾
.
F (x) = (1 + q
2
)
−1
e
xq
2
1+q
2
Ã
cos
xq
1 + q
2
+ q sin
xq
1 + q
2
!
.
2.3.7. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà
Ïðåäñòàâëåíèå (52) ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè W(x, t) â ñî÷åòàíèè ñ
èíòåãðàëüíîé ôîðìóëîé (116) ïîçâîëÿåò íåïîñðåäñòâåííî âû÷èñëèòü
ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ äëÿ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà:
               ∞
               X                       ∞
                                       X    1 −α x Z              ξ n+α
  W(x, t) =         Ln(α) (x)tn    =     n
                                         t     x e     dξ e −ξ
                                                                          =
              n=0                    n=0   2πi       C         (ξ − x)n+1
                                                                      "            #
                1 −α x Z        −ξ    ξα     ∞
                                             X     ξt n
             =     x e     dξ e                           =
               2πi       C         (ξ − x) n=0 ξ − x
                    1 −α x Z        −ξ        ξα
                =     x e     dξ e            ³
                                                    x
                                                       ´.                                      (122)
                  2πi       C          (1 − t) ξ − 1−t
                                                                                                 x
Âû÷èñëÿÿ ïîñëåäíèé èíòåãðàë ñ ïîìîùüþ âû÷åòà â ïîëþñå ξ =                                       1−t ,
ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå
                                                                     xt
                        W(x, t) = (1 − t)−1−α e− 1−t .                                         (123)

Ñõîäèìîñòü ðÿäà â ôîðìóëå (122) îáåñïå÷åíà, åñëè |t| < 1.
Çàäà÷à
Ïðîñóììèðîâàòü ðÿä
                                       ∞
                                       X                      (0)
                         F (x) =               (−1)n q 2n L2n (x) ,                            (124)
                                       n=0

ãäå q -äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, à |q| < 1. Ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî
èñêîìàÿ ñóììà ïðåäñòàâëåòñÿ ðåàëüíîé ÷àñòüþ ðÿäà, ñîäåðæàùåãî
ïîëèíîìû Ëàãåððà êàê ñ ÷åòíûìè, òàê è ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè
                                                                      
                                           X∞                         
                       F (x) = Re                   (iq)n L(0)
                                                            n (x) .                           (125)
                                               n=0

Ïîëàãàÿ t = iq , íàõîäèì F (x) ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè
(123)                                      ½                               ¾
                                                                     ixq
                                                         −1       − 1−iq
                      F (x) = Re (1 − iq)                     e                .               (126)
Îòäåëÿÿ ðåàëüíóþ ÷àñòü, ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíóþ ôîðìóëó
                                           Ã                                           !
                        2 −1
                                    xq 2         xq             xq
        F (x) = (1 + q )       e   1+q 2   cos        + q sin                              .   (127)
                                               1 + q2         1 + q2
                                                 37

Страницы