Классические ортогональные полиномы. Балакин А.Б. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(r) = −
a
r
R(r)
1
r
2
d
dr
Ã
r
2
dR
dr
!
−
l(l + 1)
r
2
R +
2m
¯h
2
"
E +
a
r
#
R = 0 .
l E
ρ Z(ρ)
ρ = 2r
v
u
u
t
−
2mE
¯h
2
, R(r) = ρ
l
e
−
ρ
2
Z(ρ) ,
ρZ
00
(ρ) + (2l + 2 − ρ)Z
0
(ρ) + (µ −l − 1)Z(ρ) = 0 .
µ
µ ≡
v
u
u
t
−
ma
2
2¯h
2
E
.
n
r
≡ µ −l −1
µ > l +1
µ ≡ n
n
r
E = −
ma
2
2¯h
2
n
2
.
2.3.9. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ
Êâàíòîâîìåõàíè÷åñêàÿ çàäà÷à î äâèæåíèè ÷àñòèöû â öåíòðàëüíî-
ñèììåòðè÷íîì ïðèòÿãèâàþùåì êóëîíîâñêîì ïîëå [13] ñ ïîòåíöèàëîì
U (r) = − ar ïðèâîäèò ê èçó÷åíèþ ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ äëÿ òàê
íàçûâàåìîé ðàäèàëüíîé ÷àñòè âîëíîâîé ôóíêöèè R(r):
               Ã      !                   "      #
          1 d     2 dR   l(l + 1)     2m      a
                r      −          R +     E +   R = 0.    (132)
          r2 dr     dr       r2       h̄2     r
Öåëîå ÷èñëî l îïðåäåëÿåò çíà÷åíèå ìîìåíòà ÷àñòèöû, à E , êàê è
ïðåæäå, îïèñûâàåò ýíåðãèþ, êîòîðàÿ ñ÷èòàåòñÿ îòðèöàòåëüíîé âå-
ëè÷èíîé ïðè äàííîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è. Åñëè ââåñòè íîâóþ ðàäè-
àëüíóþ ïåðåìåííóþ ρ è íîâóþ èñêîìóþ ôóíêöèþ Z(ρ) ïî ïðàâèëàì
                     v
                     u
                     u2mE                  ρ
                     t
               ρ = 2r −  2 ,  R(r) = ρl e− 2 Z(ρ) ,      (133)
                       h̄
òî ïðÿìîé ïðîâåðêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî óðàâíåíèå (132)
ïðèâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó âèäó:
         00                  0
      ρZ (ρ) + (2l + 2 − ρ)Z (ρ) + (µ − l − 1)Z(ρ) = 0 .       (134)

 ýòîì óðàâíåíèè áóêâîé µ îáîçíà÷åíà êîíñòàíòà
                                 v
                                 u
                                 ma2
                                 u
                                 t
                          µ≡     −     .                  (135)
                                2h̄2 E
Ñîãëàñíî ÒÅÎÐÅÌÅ 4 óðàâíåíèå (134) èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøå-
íèÿ, îãðàíè÷åííûå äëÿ âñåõ êîíå÷íûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà èç îáëà-
ñòè îïðåäåëåíèÿ, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà nr ≡ µ − l − 1 ÿâëÿåòñÿ
íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, à ñëåäîâàòåëüíî, è ñàìî ÷èñëî µ > l + 1 òàêæå
äîëæíî áûòü íàòóðàëüíûì. ×èñëî µ ≡ n ïðèíÿòî íàçûâàòü ãëàâíûì
êâàíòîâûì ÷èñëîì, à nr - ðàäèàëüíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì. Ïåðâîå èç
ýòèõ ÷èñåë îïðåäåëÿåò ðàñïîëîæåíèå äèñêðåòíûõ óðîâíåé ýíåðãèè,
ïîñêîëüêó èç (135) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò
                               ma2
                           E=− 2 2.                            (136)
                              2h̄ n
                                     39

Страницы